A Potenciação: essencial parte 1

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Neste texto o leitor será apresentado a operação de potenciação e suas principais propriedades. A abordagem escolhida para o texto vai se diferenciar de outras pois iremos definir potência até números racionais numa construção através dos conjuntos numéricos.

O caminho mais comum é que se defina potenciação antes de logaritmo e se define o logaritmo como a função inversa da potenciação. Esse caminho pode ser tomado ao contrário, se definindo logaritmo para números reais e a partir disso definir potência como sua inversa. Para ler este texto o leitor não precisa conhecer o logaritmo, mas em outro texto aqui do blog exploraremos mais essa relação entre as operações.

Definição de potenciação para o conjunto dos naturais

Escreveremos uma potenciação da seguinte forma: aⁿ onde a é um número real qualquer e inicialmente n um número natural. Neste caso dizemos que a base é a e o expoente é n.

Definição. Sejam a real e n natural, então dizemos que a elevado n é igual a multiplicado por ele mesmo n vezes, isto é, aⁿ = a·a·…·a, com a aparecendo n vezes.

Particularmente quando o expoente é 2 dizemos que estamos elevando ao quadrado e quando o expoente é 3 dizemos que estamos elevando ao cubo.

Veja alguns exemplos:

3² = 3 · 3 = 9

2³ = 2 · 2 · 2 = 8

5⁴ = 5 · 5 ·5 · 5 = 625

Ainda denotamos que para todo a, a¹ = a e a⁰ = 1.

É um erro comum quando se aprende potenciação de em vez de repetir a base multiplicando a quantidade de vezes que se está no expoente fazer apenas a multiplicação da base pelo expoente, por exemplo cometer o seguinte erro: 3² = 3·2 = 6. Isto é em geral errado, mas veremos o caso que é verdadeiro no próximo texto.

Algumas propriedades a seguir:

P1) A multiplicação de duas potências de mesma base é igual a mesma base e os expoentes somas.

Por exemplo: 3²·3⁴ = 3²⁺⁴ = 3⁶ 

P2) A divisão de duas potências de mesma base é igual a mesma base o expoente da de cima menos o expoente da de baix0.

Por exemplo: 2⁶:2⁵ = 2⁶⁻⁵ = 2¹ = 2.

P3) A potência de uma potência é igual a mesma base e a multiplicação dos expoentes.

Por exemplo: (5²)⁵ = 5²*⁵ = 5¹⁰

Definição de potenciação para o conjunto dos inteiros

O passo natural agora é estender nossa definição para o inteiros e isso pode ser feito de maneira muito simples de forma que queremos preservar as propriedades que já temos, em especial a P1 e P2, que no caso de expoentes inteiros são a mesma coisa.

Definição. Sendo a um real e n um inteiro. aⁿ = a·a·…·a, com a aparecendo n vezes, se n for maior ou igual 1; a⁰ = 1; e, aⁿ = 1/(a⁻ⁿ), se n for menor que 0.

O que essa definição nos diz pode ser vista pela seguinte propriedade:

P4) Seja a real e n natural, então a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Continua.

Continue acompanhando o blog para ver mais propriedades da potenciação e o próximo passo será estender esse conceito para os números racionais.

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