A Sequência de Fibonacci: Introdução

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Ao observarmos a natureza ou resolvermos problemas matemáticos não é incomum nos depararmos com os mesmos números em uma certa sequência repetidas vezes, e com certeza uma das sequências mais famosas dessas é a Sequência de Fibonacci. A sequência leva o nome do matemático italiano que descreveu uma sequência de coelhos com ela.

História

Apesar de já ser conhecida na antiguidade, essa sequência leva o nome de um matemático italiano do século XII devido após ele descrever o crescimento de uma população de coelhos em 1202 com uma sequência de números que ficou conhecida como Sequência de Fibonacci.

Ao observar uma população de coelhos, Fibonacci descreveu seu crescimento com as seguintes regras:

1) No início do ano há um casal recém nascido de coelhos. E cada casal recém nascido leva 1 mês para ficar adulto.

2) Após adulto um casal de coelhos dá a luz a um novo casal de coelhos a cada mês.

Seguindo essas regras, no primeiro mês teríamos 1 casal de coelhos, no segundo mês o primeiro casal ficaria adulto e teremos ainda 1 casal de coelhos, no terceiro mês esse casal teria dado a luz a mais um casal, logo teríamos 2 casais. No quarto mês o primeiro casal dará a luz a um novo casal, e o segundo casal ficará adulto, logo teremos 3 casais. No quinto mês, o primeiro e segundo casal darão luz a d

ois novos casais e o terceiro casal ficará adulto, logo teremos 5 casais.

Logo a sequência formada pela quantidade de casais ao longo dos meses é 1, 1, 2, 3, 5, …

Essa sequência é a Sequência de Fibonacci.

Calculando a Sequência de Fibonacci

Após entendermos como foi observado a Sequência de Fibonacci, podemos dar uma definição mais aritmética para ela, que nos ajudará a calculá-la. A definição a seguir é recursiva e é equivalente e pode ser aferida através das regras citadas anteriormente.

A Sequência Fibonacci é um sequência onde o F₁=1, F₂=1, e Fₓ=Fₓ₋₁+Fₓ₋₂.

Isto nos diz que para saber um número dessa sequência precisamos saber quais os dois números anteriores dela.

Vamos escrever os 10 primeiros números da Sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Algoritmo em C: a Sequência de Fibonacci

A seguir vamos escrever uma função recursiva na linguagem C que pode ser utilizado para calcular o n-ésimo termo da Sequência de Fibonacci.

int fibonacci(int n){

if(n==1 || n==2) return 1;

return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);

}

Considerações para um segundo estudo

Nesse texto o nosso objetivo é fazer uma apresentação da sequência, e julgo que ela já foi feita, mas para seguir nos estudos podemos aferir algumas propriedades através desses conceitos iniciais. 

Qual a soma dos primeiros n elementos das posições pares da sequência?

Você consegue responder essa pergunta sozinho? Se não, não tem problema, nós abordamos essa e outras propriedades num próximo texto. Também, vamos dar uma fórmula fechada para calcular os elementos dessa sequência e prová-la por indução.

Veja também:

Propriedades da Sequência de Fibonacci: Parte 1

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