Como aprender análise combinatória do zero

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De quantas maneiras podemos dirigir de uma cidade A até a cidade B? Quantas são as formas que um grupo de amigos pode sentar no cinema? Essa e outras perguntas vão ser respondidas nesse texto. Aqui você vai aprender análise combinatória do zero.

Introdução

As primeiras perguntas da análise combinatória estão relacionadas a de quantas formas podemos fazer ou organizar uma coisa, sem termos que escrever todas as formas que isso pode ser feito.

Vamos começar com um exemplo.

Exemplo 1. Existem cinco sapatos diferentes no seu guarda-roupas e três tipos diferentes de meias. De quantas maneiras você pode calçar um sapato e uma meia com essas opções?

A princípio, podemos responder essa pergunta de duas maneiras. A primeira delas é escrever todos os visuais que podemos formar e contando-os.

Chamando os sapatos de S1, S2, S3, S4 e S5, e as meias de M1, M2 e M3. Podemos formar pares da seguinte forma: S1 e M1, S1 e M2, S1 e M3, S2 e M1, S2 e M2, S2 e M3, S3 e M1, S3 e M2, S3 e M3, S4 e M1, S4 e M2, S4 e M3, S5 e M1, S5 e M2, S5 e M3. Portanto, no total temos 15 maneiras diferentes de calçar um sapato e uma meia.

Perceba que esse método de resolver a questão é exaustivo, pois exige que liste todos os modos possíveis, além de nos deixar suscetíveis ao erro, já que caso esquecemos de contar uma possibilidade a nossa resposta já estaria errada. Você vai ver que segunda maneira deixa essa solução mais eficiente.

Problemas iniciais

Para resolver o exemplo 1 de outra maneira, vamos considerar o seguinte: Se um evento pode ocorrer de X maneiras distintas, e um segundo evento pode ocorrer de Y maneiras distintas, que não dependem do primeiro. Então, os dois eventos podem ocorrer de X*Y maneiras distintas.

Voltando para nosso exemplo. Vamos escolher um sapato primeiro. Para o sapato podemos escolher qualquer um dos 5. Daí temos 3 meias diferentes para ser usadas com o sapato escolhido. Portanto, temos 3*5=15 maneiras diferentes de calçar um sapato e uma meia.

Agora que já podemos resolver uma enorme gama de problemas de análise combinatória.

Agora tente resolver os próximos problemas sozinho, ou com seus colegas. A resposta para eles estarão ao fim do texto, mas antes de olhar gaste alguns minutos tentando.

Problema 1. Se jogarmos uma moeda quatro vezes, quantas sequências diferentes de cara e coroa podemos ter?

Problema 2. Você decidiu apostar em cinco jogos de basquete, no basquete não há empates e você precisa indicar qual time ganhará cada um dos jogos. De quantas maneiras diferentes é possível fazer essa aposta?

Mais um passo para aprender análise combinatória

Para continuar a aprender análise combinatória vamos resolver o seguinte exemplo.

Exemplo 2. Uma pessoa decide viajar da cidade A até a cidade D, porém não há estradas que ligam essas cidades. A pessoa pode dirigir da cidade A até a B por 3 estradas diferentes e depois ir de B até D por 2 estradas diferentes. Também é possível dirigir da cidade A até a C por 5 estradas diferentes e há uma estrada de C até a A.

Nesse problema não podemos apenas usar o que tínhamos anteriormente, pois se a pessoa escolher começar a viagem indo de A até B ela terá uma quantidade de maneiras distintas do que começando de A até C.

Vamos considerar esses dois casos:

1º Caso: O trajeto que passa por B, temos 3 maneiras de ir de A até B e 2 de ir de B até D, assim temos 3*2=6 maneiras de ir de A até D passando por B.

2º Caso: O trajeto que passa por C, temos 5 maneiras de ir de A até C e 1 de ir de C até D, assim temos 5*1=5 maneiras de ir de A até D passando por C.

Assim, como sempre teremos que escolher um dos casos, podemos somar a quantidade de cada um. Isto é, ao total podemos ir de A até D de 6+5=11 maneiras distintas.

Em análise combinatória a ideia de dividir seu problema em casos será bastante útil, a ideia de dividir para conquistar te ajudará a resolver muitos problemas.

Aprender análise combinatória

Definitivamente, para aprender análise combinatória só há uma maneira: exercitando. E é isso que faremos a seguir:

Exemplo 3. Uma loja vende 4 modelos de aparelhos celulares, 3 modelos de tablets e 5 modelos de computadores. Um cliente deseja comprar dois itens distintos(e de tipos distintos) dentre as opções desta loja. De quantas maneiras ele pode fazer isso?

O cliente pode escolher um celular e um tablet, ou um celular e computador, ou um tablet e um computador. Caso ele vá escolher um celular e um tablet, ele poderá fazer de 4*3=12 maneiras. Caso ele escolha um celular e um computador, terá 4*5=20 maneiras. E, caso escolha um tablet e um computador poderá fazer de 3*5=15 maneiras. Portanto, para escolher dois produtos distintos de 12+20+15=47 maneiras.

Sua vez, tente resolver os problemas abaixo, e depois disso você poderá conferir ao final do texto se suas respostas estão corretas.

Problema 3. De quantas maneiras podemos colocar duas torres num jogo de xadrez de modo que elas não se ataquem?

Problema 4. Um time de futebol democrático de 11 jogadores vai eleger seu capitão e vice-capitão. De quantas maneiras isto pode ser feito?

Problema 5. De quantas maneiras podemos colocar dois reis num jogo de xadrez de modo que eles não se ataquem?

Por onde continuar

Agora que você já sabe o básico de análise combinatória, poderá pesquisar sobre algumas ferramentas que nos ajudarão a resolver outros problemas desse tipo. São elas: Arranjos, Permutações, Combinações, …

Respostas.

P1) 16.

P2) 32.

P3) 3136.

P4) 110.

P5) 3612.

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