Arranjo simples: Análise Combinatória

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O objetivo deste texto é apresentar o arranjo simples, mais um importante objeto combinatório numa série de textos desse blog de introdução a análise combinatória. Esse texto define e é construído em cima de exemplos e exercícios.

Preliminares.

Antes de se aventurar nos problemas de arranjo simples é necessário que o leitor tenha certo domínio sobre o princípio multiplicativo e noções combinatórias encontradas no seguinte texto:

Como aprender análise combinatória do zero.

Também é interessante conhecer a ideia de fatorial encontrada no seguinte texto:

Fatorial (!) : Aprenda tudo sobre.

Exemplos introdutórios.

Agora vamos começar resolvendo alguns exemplos.

Exemplo 1. Numa turma de 20 alunos o professor vai escolher aleatoriamente dois deles para cada um resolver um exercício diferente de matemática no quadro. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Para resolver esse exemplo observe que para resolver o primeiro exercício temos 20 opções de alunos para escolher. Uma vez escolhido o primeiro aluno, independentemente de quem foi, o segundo para o outro exercício possui 19 maneiras de ser escolhido.

Pelo princípio multiplicativo temos 20·19 = 380 maneiras diferentes de fazer isso.

Exemplo 2. João possui 10 livros diferentes de matemática, ele gostaria de ordenar 5 deles numa estante na sala da sua casa. De quantas maneiras ele pode fazer isso?

Para escolher o livro que ficará primeiro na estante ele tem 10 possibilidades, para o segundo 9 possibilidades, para o terceiro 8 possibilidades, para o quarto 7 possibilidades e para o quinto 6 possibilidades.

Pelo princípio multiplicativo ao total são 10·9·8·7·6 maneiras diferentes de ordenar esses cinco livros na estante.

Definição de Arranjo Simples.

Agora imagine que você possui n objetos distintos e gostaria de ordenar k deles. De quantas maneiras você pode fazer isso?

Não é difícil usar ideais combinatórias análogas à que usamos para resolver os exemplos e concluir que isso pode ser feito de n·(n-1)·…·(n-(k+1)) = n!/(n-k)!

Esse objeto combinatório que é a ideia de ordenar k objetos entre n é chamado de arranjo simples, e assim podemos utilizá-lo para toda uma classe de problemas que podem ser transformados nesse que já sabemos a resposta.

Veja que no exemplo 1 escolher os dois alunos como pedido é o mesmo que ordenar dois alunos entre vinte, isto é 20!/(20-2)! = 20·19 = 380, como encontramos.

Exercícios de Arranjo Simples

Agora é sua vez, tente resolver os seguintes exercícios usando a ideia que acabou de aprender.

Exercício 1. Uma sala vai fazer uma votação e eleger um presidente, um vice e um secretário da seguinte forma. O aluno mais votado da sala será o presidente, o segundo será o vice e o terceiro será o secretário. Se na turma tem 40 alunos, de quantas maneiras diferentes essa chapa pode ser eleita?

Exercício 2. Quantos anagramas de 3 letras distintas podemos formar utilizando as letras A, B, C, D, ou E?

Exercício 3. Durante o período do SISU o estudante deve escolher a primeira e a segunda opções de curso. E em uma universidade há 30 opções de curso. De quantas maneiras distintas um estudante pode escolher a primeira e a segunda opção de curso?

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