Boa ordem

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Neste texto o leitor será apresentado ao conceito de relação de boa ordem, ou conjunto bem ordenado. Para entender o que é essa ideia dentro do estudo das relações. Para isso, verá que é preciso que a relação cumpra algumas propriedades que serão apresentadas.

Revisão sobre relações entre conjuntos.

Antes de entender o que é uma relação de boa ordem é necessário que o leitor relembre o conceito de relação entre conjuntos.

S é um relação de um conjunto A para B se S⊂AxB, isto é uma relação entre dois conjuntos é um subconjunto do produto cartesiano entre eles.

Assim, o conjunto vazio é relação entre quaisquer dois conjuntos e um produto cartesiano é uma relação entre dois conjuntos.

Caso o leitor queria saber mais sobre relações ele pode conferir o seguinte texto aqui do blog:

Relação entre conjuntos.

Um comentário importante para o tipo de relação que vamos definir é que dizemos que S é uma seleção em A se for uma relação de AxA.

Relação de Boa Ordem

Dada uma relação S em A, dizemos que ela é uma boa ordem de A se for irreflexiva, transitiva e todo subconjunto de A tem menor elemento em relação a S.

Vamos entender o que isso significa.

A partir daqui só nos interessam as relações de AxB quando A=B, isto é, as relações sobre um mesmo conjunto.

Dizemos que uma relação S em A é irreflexiva quando para todo x que pertence A, então (x, x)∉S. Mais coloquialmente, todo elemento do conjunto não se relaciona com ele mesmo.

Dizemos que uma relação S em A é transitiva quando para todos x, y e z que pertencem a A com (x, y) e (y, z) então (x, z). Isto quer dizer que se x se relaciona com y, que se relaciona com z, então x se relaciona com z, o que de alguma forma diz que a relação se existe com um “intermediário”, esse intermediário não é necessário.

E, para todo subconjunto B de A, se esse subconjunto não for vazio então existe um elemento a nesse subconjunto B tal que a<b para todo elemento b nesse subconjunto B e diferente de a.

Finalmente, agora entendemos o que é uma relação de boa ordem. É uma relação sobre um conjunto que cumpre as três condições acima.

Um conjunto com uma boa ordem é um conjunto bem ordenado.

Confira também:

Relação de Equivalência

Relação de Ordem Parcial

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