Centro de massas: o que é?

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Fala gurunauta, nesse artigo vamos entender o que é o centro de massas.

O centro de massas

Quando começamos a estudar física, em particular as leis de Newton, é comum vermos termos como partículas e massas. Em verdade, muitas vezes, problemas e questões falam para considerarmos corpos como partículas, assim, desprezando suas dimensões e formas. Com isso, ganhamos uma incrível simplificação do sistema e o problema torna-se fácil de ser resolvido.

Entretanto, quando temos muitas partículas, como o mostrado na Figura 1, a coisa muda de forma.

Esquematização de um sistema de partículas.
Figura 1. Sistema com muitas partículas

Decerto, muitas partículas interagindo modificam a forma do problema e assim o tornam mais complicado. Mas, pode ficar calmo, para contornar esse problema podemos recorrer ao centro de massas.

O centro de massas é um conceito físico para sistemas ou distribuições de massas. Em suma, a ideia é descrever o sistema como se toda a massa existente estivesse concentrada nesse ponto. Ou seja, ele traz o problema novamente para um campo que sabemos trabalhar. Nesse sentido, vamos descrever o centro de massas para sistemas de partículas e para distribuições contínuas de massas.

Para sistemas de partículas

Um sistema de partículas é algo similar ao descrito na Figura 1. Ou seja, várias partículas pontuais cada um com uma certa massa.

Para nosso caso, vamos imaginar n partículas, cada uma com massa m1,m2,m3,…mn e situadas nos pontos (x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3), …, (xn,yn,zn). Além disso, vamos imaginar que elas estejam no espaço, exatamente como na Figura 1. Sob essas condições, o centro de massa é um ponto (xc,yc,zc) do espaço e cada uma dessas componentes é dada por

Fórmulas para o cálculo das componentes do centro de massa de um sistema de partículas.

onde, M é a massa total do sistema. Assim, as componentes do centro de massas para um sistema de partículas são obtidas pela média ponderada em relação as massas de cada partículas.

Para distribuições continuas

Além disso, o centro de massas também pode ser obtido para um sistema contínuo. Isto é, para corpos que possuem formas não desprezíveis. Para obtermos o centro de massas nesses casos, primeiro devemos introduzir uma nova forma para calcularmos a massa M desses corpos, o que é feito pelas seguintes fórmulas

onde, p é a função densidade de massa. Com isso em mãos, podemos calcular o centro de massas para sistemas contínuos. Vamos nos ater ao caso 2D e 3D. No caso de duas dimensões, calcularemos o centro de massa para uma região D do plano, como um disco conforme Figura 2.

Esquematização de um disco no plano xy para cálculo do centro de massas.

Figura 2. Esquematização de um disco no plano xy.

Nesse caso, não há componente zc pois o disco está no plano. Então, as componentes do centro de massa serão

Para o caso em três dimensões, consideremos um corpo qualquer conforme Figura 3.

Distribuição contínua de volume.
Figura 3. Distribuição contínua de um corpo tridimensional.

Nesse caso, as componentes do centro de massa são as seguintes

Componentes do centro de massa para uma distribuição volumétrica.

Além disso, é bacana observar que no caso de distribuições contínuas apenas generalizamos a soma de partículas para a integral.

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