Combinação parte 1: Análise combinatória

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Neste texto o leitor vai continuar o estudo da análise combinatória para estudar um objeto chamado combinação. Vamos ver a definição inicial e como resolver problemas que envolvem esse objeto através de exemplos e exercícios.

Introdução

Caso o leitor não esteja familiarizado com os princípios básicos da análise combinatória veja o seguinte texto:

Como aprender análise combinatória do zero

Vamos iniciar o estudo resolvendo o seguinte exemplo.

Exemplo 1. Numa casa há 10 frutas diferentes disponíveis das quais duas serão escolhidas para fazer uma vitamina. De quantas maneiras isso pode ser feito?

A primeira fruta pode ser escolhida de 10 maneiras. Independente da escolha da primeira fruta a segunda pode ser escolhida de 9 maneiras. Mas, percebe que escolher maçã e banana é o mesmo de escolher banana e maçã, logo cada par foi contado duas vezes.

Portanto a resposta é 10·9/2 = 45.

Agora considere uma extensão desse exemplo a seguinte pergunta. E se fossem escolhidas 3 frutas ao invés de duas?

Veja, que nesse caso para a terceira fruta, independente da escolha das duas primeiras, temos 7 possibilidades. Mas, também, qualquer permutação na ordem de escolha dessas três frutas faria a mesma vitamina.

Para permutar as três frutas, temos 3! possibilidades. Portanto, o total de maneiras é 10·9·8/3! = 720/6 = 120.

Caso o leitor não esteja habituado com a ideia de permutação confira o seguinte texto:

Permutação: Análise Combinatória

Combinação.

Agora não vamos escolher duas ou três frutas, mas k frutas, e possuímos n frutas disponíveis. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Todo problema que seja equivalente a isso, isto é, a ideia de escolher independente da ordem um grupo de k entre n possibilidades chamamos de combinação.

Para resolver esse problema pensando de maneira análoga aos exemplos poderemos fazer de n·(n-1)·…·(n-k)/k! maneiras.

Uma outra forma de escolher isso é a seguinte. Temos n!/((n-(k-1))!·k!) maneiras de escolher k entre n.

Assim, sempre que nos deparamos com um problema de combinação já sabemos como resolvê-lo.

Exercícios de combinação

Agora é sua vez, busque resolver os seguintes problemas:

Problema 1. De quantas maneiras podemos formar uma comissão de 4 estudantes numa turma de 300?

Problema 2. De quantas maneiras podemos escolher 6 cores entre 7 dadas?

Problema 3. Uma biblioteca possui 50 livros em um de seus acervos e 100 em outro acervo. De quantas maneiras é possível trocar 3 livros entre esses acervos?

Problema 4. Numa turma há 12 meninos e 8 meninas. Temos que montar um grupo de 3 pessoas, de modo que haja pelo menos um menino neste grupo. De quantas maneiras isso pode ser feito?

Problema 5. De quantas maneiras podemos dividir uma turma de 40 pessoas em dois grupos de 20 pessoas cada? E se um grupo tivesse 10 pessoas e o outro 30?

Próximos passos.

No próximo texto sobre combinação vamos aprender algumas técnicas úteis na hora de pensar cada problema e encontrar suas respostas. Por exemplo, escolher 2 pessoas entre 5 para entrar numa comissão não seria o mesmo de escolher 3 entre 5 para ficar de fora?

Fica de olho no blog para aprender esse e outros pensamentos combinatórios.

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