Em matemática muitas vezes não é necessário encontrar explicitamente todas as respostas para conseguir calcular algumas propriedades delas. Esse é o caso das raízes de uma equação polinomial, onde podemos descobrir alguns resultados sobre elas mesmo antes de encontrá-las. Nesse texto você vai aprender como calcular a soma e produto das raízes de uma equação polinomial do 2º grau.
O resultado que vamos discutir é, na verdade, um resultado particular das fórmulas conhecidas como Relações de Girard.
O que é equação polinomial do 2º grau
Uma equação polinomial do 2º grau é uma equação que tem a seguinte forma: ax²+bx+c=0.
Uma raiz dessa equação é um valor que quando substituímos o x por ele a equação é satisfeita.
Por exemplo, se tivermos a equação x²+4x-5=0, o número 1 é uma raiz dessa equação, pois 1²+4*1-5=0. O número 2 não é uma raiz, pois 2²+4*2-5=7≠0.
Toda equação desse tipo possui no máximo duas raízes distintas entre os números reais, e através da Fórmula de Bhaskara é possível encontrar explicitamente quais as raízes reais de uma equação polinomial do segundo grau, mas nem sempre precisaremos calcular quais essas raízes, em alguns momentos estamos interessados em achar apenas alguma relação entre elas.
Mesmo quando as raízes da equação não são números reais, e nesse caso são números complexos, é possível achar quais os valores da soma e produto delas.
Fórmulas de como calcular soma e produto das raízes de uma equação polinomial do 2º grau
Dada uma equação da forma ax²+bx+c=0, e sendo x₁ e x₂ as raízes dessa equação então podemos aplicar as fórmulas a seguir:
Fórmula da Soma: x₁ + x₂ = -b/a
Fórmula do Produto: x₁ * x₂ = c/a
Por exemplo, na equação x²+4x-5=0 vamos calcular a soma e produto das raízes sem sabermos quem são elas.
No nosso exemplo, a=1, b=4 e x=-5. Logo a soma das raízes é igual a; -b/a = -4 / 1= -4. E o produto das raízes é igual a -(-5) / 1 = 5.
Exemplo
Sejam x₁ e x₂ as raízes de 4x²-3x-1=0, vamos calcular o valor de (x₁+x₂)²+(x₁*x₂).
Primeiro precisamos perceber que nós não sabemos o valor de x₁ ou x₂, e poderíamos até calcular, mas isso levaria um bom tempo e deixaria esse processo mais demorado.
Apesar disso, nós conhecemos como calcular os valores de x₁+x₂ e de x₁*x₂.
Na nossa equação temos que a=4, b=-3 e c=-1, então:
x₁ + x₂ = -(-3) / 4 = 3 / 4 = 0,75
x₁ * x₂ = -1 / 4 = -0,25
Logo temos que:
(x₁+x₂)²+(x₁*x₂) = 0,75²+(-0,25) = -0,5625 – 0,25 = -0,8125.
Conclusão
Viu como é fácil aprender como calcular soma e produto de soma e produto.
Essas fórmulas também podem nos ajudar a encontrar um método de procurar quais as raízes de equações polinomiais do 2° grau diferente da aplicação da Fórmula de Bhaskara.
Agora tenta resolver esse desafio:
A soma das raízes da equação x²+1=0 é igual a 0 e o produto das raízes é igual a 1, mas você acha que é possível achar algum número real que é raiz dessa equação?
