Nesse texto vamos entender o que é uma congruência entre dois números, esse é o início do que é necessário para aprender aritmética modular e suas propriedades.
Revisão de divisibilidade.
Antes de aprendermos o conceito de congruência, vamos revisar alguns conceitos que precisamos saber.
Primeiro, em todo esse texto estaremos tratando de números inteiros, portanto, quando nos referimos a um número sem especificar queremos dizer um número inteiro.
Definição. Dados dois inteiros a e b. Dizemos que a divide b ou b é divisível por a, e denotamos a|b, se existe k inteiro tal que b=ak.
Chamaremos os números que dividem b de divisores de b. Portanto, dizem que a divide b é o mesmo que dizer que a é um divisor de b.
Podemos fazer uma definição equivalente a esse que dizendo que: a|b se b deixa resto zero na divisão por 0.
Analogamente, se b deixa resto diferente de 0 na divisão por a então a não divide b ou não é um divisor de b.
Definição de congruência.
Vejamos a definição e alguns exemplos.
Definição. Sejam a, b e n números inteiros. Dizemos que a é congruente a b módulo n, e denotamos a≡b (mod n), se n|a-b, isto é, a e b deixam o mesmo resto da divisão por n.
Por exemplo, 2≡7 (mod 5).
Outro exemplo é que 10≡1 (mod 9)
Propriedades de Congruência.
Agora que já entendemos a dizer que dois números são congruentes. Vejamos as principais propriedades que temos:
Consideramos quaisquer a, b, c, d e n números inteiros.
Propriedade 1. (Reflexividade)
a≡a (mod n)
Propriedade 2. (Simetria)
Se a≡b (mod n), então b≡a (mod n)
Propriedade 3. (Transitividade)
Se a≡b (mod n) e b≡c (mod n), então a≡c (mod n)
Propriedade 4. (Compatibilidade com a soma e diferença)
Se a≡b (mod n) e c≡d (mod n), então a+c≡b+d (mod n) e a-c≡b-d (mod n)
Propriedade 5. (Compatibilidade com o produto)
Se a≡b (mod n) e c≡d (mod n), então ac≡bd (mod n)
Próximos passos
Continue acompanhando o blog para aprender mais sobre congruência. Também, em breve traremos textos exclusivos com as demonstrações de todos os critérios de divisibilidade até o 11.
Caso você ainda não saiba todos os critérios pode conferir aqui:
Critérios de divisibilidade do 2, 4 e 8
Veja também os critérios de divisibilidade do 3, 6 e 9.
Veja o critério de divisibilidade do 5.
