Conjunto das Partes: Teoria dos Conjuntos

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Neste texto o leitor vai encontrar a definição de conjunto das partes e uma revisão sobre subconjuntos.

A Teoria dos Conjuntos estuda objetos e coleções de objetos de maneira bastante abstrata e geral, e por isso serve como base para formulações, abstração e formalização de ideias de diversas áreas diretamente da matemática, lógica e aplicações.

Revisão sobre subconjunto

Antes de definir o que é conjunto das partes vamos relembrar um conceito que será essencial nessa definição, o de subconjunto. 

Dizemos que A é subconjunto de B, se todo elemento que pertence a A pertence também a B. Podemos dizer, neste caso, que A está contido em B, ou B contém A e denotamos A⊂B.

Logo, {a, b, c}⊂{a, b, c, d, e}, por exemplo. Ou os números naturais é um subconjunto dos números inteiros.

Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, pois todo x que pertence a A, então x pertence a A. Logo A⊂A.

Também, o conjunto vazio, ∅, é subconjunto de todo conjunto, por vacuidade.

Caso o leitor queira um texto só sobre subconjuntos pode conferir o seguinte:

Subconjunto: Teoria dos Conjuntos

Conjunto das Partes

Agora, que já lembramos o que é um subconjunto, é importante ressaltar que os elementos de um conjunto podem ser inclusive outros conjuntos.

Geralmente chamamos de família um conjunto cujos elementos são outros conjuntos.

O conjunto das partes de um conjunto A, denotado P(A), é o conjunto de todos os subconjuntos de A, ou seja é família P(A) = {B; B⊂A}.

Veja, que o conjunto das partes de nenhum conjunto é vazio, pois, como vimos, o vazio é subconjunto de todo conjunto. Também, se o conjunto não for vazio então ele tem pelo menos 2 elementos, o vazio e ele mesmo.

Veja alguns exemplos:

P(∅) = {∅}. Isto é, o conjunto unitário, cujo único elemento é o conjunto vazio. Não confundir com o conjunto vazio.

Se A = {1, 2, 3}, então P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

A cardinalidade de um conjunto com um número finito de elementos, n elementos, é igual a 2ⁿ.

Não é incomum representar o conjunto das partes de um conjunto A como 2ᴬ, que faz a referência a cardinalidade do conjunto, algo que pode ser visto inclusive para conjuntos infinitos e veremos em outros texto.

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