Antes de definirmos as coordenadas do tipo cilíndricas, vamos revisar as coordenadas polares.
Em geometria plana, o sistema de coordenadas polares é usado para dar uma descrição conveniente de certas curvas e regiões.
Assim, a figura 1 nos permite relembrar a ligação entre coordenadas polares e cartesianas.
Se o ponto P tiver coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, θ), então, da figura 1, temos:
Em três dimensões, há um sistema de coordenadas, chamado coordenadas cilíndricas, que é análogo às coordenadas polares, assim dá descrições convenientes de algumas superfícies e sólidos que ocorrem usualmente.
Como veremos em um próximo artigo, algumas integrais triplas são muito mais fáceis de calcular em coordenadas cilíndricas.
Conforme a figura 2, dado um ponto P no espaço tridimensional é representado pela tripla ordenada (r, θ, z), onde r e teta são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy e z é a distância orientada do plano xy a P.
Para realizar a conversão para coordenadas retangulares, iremos usar as equações
Enquanto que para converter de coordenadas retangulares para cilíndricas, usamos
Exemplo 1
(a) Marque o ponto com coordenadas (2, 2pi/3, 1) e encontre suas coordenadas retangulares.
(b) Encontre as coordenadas cilíndricas do ponto com coordenadas retangulares (3, -3, -7).
Solução:
(a) O ponto com coordenadas do tipo cilíndrica (2, 2pi/3, 1) está marcado na Figura 3. Desta forma, das Equações 1, suas coordenadas retangulares
Logo, o ponto representado da seguinte forma em coordenadas cartesianas:
(b) Das Equações 2, temos que:
Portanto, coordenadas do tipo cilíndricas são úteis em problemas que envolvem simetria em torno de um eixo e o eixo z é escolhido de modo a coincidir com o eixo de simetria.
