Critérios de Divisibilidade do 3 6 e 9

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Os critérios de divisibilidade são muito úteis para economizar tempo e resolver problemas de divisibilidade sem precisar necessariamente efetuar uma divisão. Nesse texto vamos aprender os critérios de divisibilidade do 3, 6 e 9.

Por muitas vezes os números que queremos verificar se são divisíveis são demasiadamente grandes ou não possuímos informações completas sobre eles.

Introdução

Aqui no blog você pode ver que diversos números possuem critérios para facilitar descobrir se um número é divisível por outro. Esses critérios são basicamente regras, que não nos dão o quociente da divisão, mas podem nos dizer se deixam resto 0 ou não, e às vezes outras informações relevantes.

É comum que o funcionamento dos critérios passem por em vez de verificar um número grande e difícil, possamos verificar um número menor, cuja divisão é mais simples e rápida e que seja equivalente descobrirmos se esse segundo é divisível.

Alguns critérios de divisão são recursivos, isto é, podemos aplicá-lo quantas vezes for necessário para ir diminuindo o trabalho até chegar em uma verificação que é trivial. Por exemplo, os critérios do 3, 9 e 7 são recursivos.

Nesse texto, esse é o caso dos números 3 e 9. Você verá a seguir que o critério do 6 apresentado não é um novo critério, mas apenas o compilado reescrito de outros critérios.

Critérios de Divisibilidade do 3 6 e 9

Critério de divisibilidade do 3

O critério de divisibilidade do 3 diz que:

Dado um número, some o valor dos algarismos desse número. Caso essa soma seja divisível por 3, então o próprio número é divisível por 3.

Esse critério além de nos permitir diminuir números gigantescos para números de poucos algarismos, cuja divisão é bem mais simples, é recursivo, logo, também, pode ser reaplicado até chegarmos em um número trivial, como 3, 6 ou 9, que conseguimos saber sem fazer conta que é divisível por 3.

Vamos utilizar recursivamente o critério para descobrir se 12578874 é divisível por 3.

A soma dos algarismos desse número é: 1+2+5+7+8+8+7+4=42.

Suponha que não saibamos se  42 é divisível por 3, logo somamos seus algarismos, o que nos dá: 4+2=6.

É claro que 6 é divisível por 3, logo 12578874 é divisível por 3.

Ainda, o critério é mais forte do que enunciamos, a soma dos algarismos nos dá exatamente o mesmo resto que o número original. Logo, por exemplo, a soma dos algarismos de 1111 é 4, que deixa o resto 1 na divisão por 3, logo 1111 deixa o resto 1 na divisão por 3. E, saber o resto que um número deixa numa divisão pode ser útil em muitos momentos, como em aritmética modular, por exemplo.

Critério de divisibilidade do 9

Você verá que o critério do 9 é muito semelhante ao do 3, portanto as observações feitas no 3 valerão também aqui, a única diferença é que estaremos falando do resto na divisão por 9.

Ainda assim, vamos enunciar o critério de divisibilidade do 9:

Dado um número, some o valor dos algarismos desse número. Caso essa soma seja divisível por 9, então o próprio número é divisível por 9.

Critério de divisibilidade do 6

O critério de divisibilidade do 6 é o seguinte:

Um número é divisível por 6 se for por 2 e por 3 simultaneamente.

Veja que isso significa que teremos que verificar dois critérios diferentes, o do 2 e do 3, e caso o número passe no teste dos dois então será divisível por 6.

Esse trabalho pode ser visto de alguma maneira como preguiçoso, mas é extremamente eficiente, e veremos em um outro texto em que nos aprofundamos nas razões teóricas disso, que com um conjunto de critérios podemos gerar critérios baseados nesses para diversos números.

Caso você não lembre, temos um texto no blog que diz qual o critério de divisibilidade do 2, e que pode ser conferido no link ao fim desse texto.

Ainda assim, vamos reescrever o critério do 6:

Um número é divisível por 6, se seu algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6 ou 8, e a soma de todos seus algarismos for divisível por 3.

Outros critérios

Veja também os critérios de divisibilidade do 2, 4 e 8

Também, o critério de divisibilidade do 7.

Veja também o critério de divisibilidade do 11.

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