Derivadas: Pontos críticos

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Leilivan Pimentel
maio 10, 2024

Derivadas é a análise de taxas de variação. Dessa maneira, quando calculamos a derivada de uma função em um ponto específico, obtemos a taxa de variação instantânea da função nesse ponto. Uma das aplicações de derivadas é encontrar os pontos críticos de funções.

Assim, ao encontrar os pontos críticos de uma função (onde a derivada é igual a zero ou é inexistente), podemos determinar os valores extremos locais da função, como ponto de inflexão, mínimos e máximos. Nesse sentido, essa informação é crucial em diversas áreas, como economia, engenharia e ciências naturais, onde muitas vezes buscamos otimizar alguma grandeza.

Gráfico ou derivadas?

Para determinar os pontos de máximo ou mínimo de uma função, é suficiente elaborar o gráfico correspondente e localizar esses pontos. Contudo, a elaboração dos gráficos de diversas funções pode ser uma tarefa desafiadora. É aqui que entram as derivadas das funções, tornando-se uma ferramenta valiosa para simplificar esse processo.

Ao invés de depender exclusivamente da visualização gráfica, as derivadas oferecem uma abordagem analítica que nos permite identificar os pontos críticos, onde a função atinge valores extremos. Esses pontos críticos são encontrados ao igualar a derivada da função a zero ou ao analisar a sua inexistência.

Então vamo lá

Primeiramente, vamos considerar o Ponto crítico de uma função derivável f é um ponto x=c do domínio de f no qual f ‘(c)=0. De forma um pouquinho mais simples, os pontos críticos (x=c) serão os valores de x onde a primeira derivada da função é igual a zero. Vamos a um exemplo:

Função

$f(x) = x^3 -2x^2 +x +10$

vamos calcular a primeira derivada

$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx} ( x^3 -2x^2 +x +10)$

$\frac{df}{dx} = 3x^2 -4x +1$

Agora para encontrar os pontos críticos fazemos:

$\frac{df}{dx} = 0$

$3x^2 -4x +1 = 0$

Assim temos dois pontos críticos x = 1/3 e x = 1

Com os pontos críticos…

Usamos o teste da segunda derivada.

Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, possuindo um ponto crítico x=c no interior de S, isto é, f ‘(c)=0.

Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f.
Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f.

Vamos continar com o nosso exemplo

Função

$f(x) = x^3 -2x^2 +x +10$

$\frac{df}{dx} = 3x^2 -4x +1$

Sabemos que :

$\frac{d^{2}f}{dx^{2}} = \frac{d}{dx} \left ( \frac{df}{dx} \right )$

Então temos:

$\frac{d^{2}f}{dx^{2}} = \frac{d}{dx} (3x^2 -4x +1)$

$\frac{d^{2}f}{dx^{2}} = 6x -4$

Assim temos dois pontos críticos x = 1/3 e x = 1, agora vamos definir o “tipo” de ponto crítico

$\frac{d^{2}f}{dx^{2}} = 6x -4$

Para x = 1/3

$\frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1/3) = 6* \frac{1}{3} -4$

$\frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1/3) = -2$

Para x = 1

$\frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1) = 6*1 -4$

$\frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1) = 2$

Como:

$\frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1/3) > 0$

Então x = 1/3 é um ponto de mínimo local

$\frac{d^{2}f}{dx^{2}} = 6x -4$

Para x = 1

$\frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1) = 6*1 -4$

$\frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1) = 2$

Como:

$\frac{d^{2}f}{dx^{2}}(1) > 0$

Então x = 1 é um ponto de mínimo local

Teorema Pierre Fermat

O teste da derivada tem uma definição matemática, que e o Teorema Pierre Fermat, se uma função f possui um ponto de extremo (máximo ou mínimo) local em x=c e a função f é derivável neste ponto, então x=c é um ponto crítico, isto é, f ‘(c)=0.

Pelo teorema, se x=c é um ponto de extremo local para f, a derivada de f se anula e passa uma reta tangente horizontal à curva y=f(x) no ponto (c, f(c)).

Existem funções com um ponto crítico em x=c, que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f, como a função f(x)=x³ definida sobre a reta, x=0 é ponto crítico mas este não é um ponto de extremo para f.

Se os pontos de extremos locais para f estiverem nas extremidades do domínio de f, as derivadas laterais de f poderão existir e ser não nulas. A função f(x)=1-x², definida sobre S=[-1,2] possui três extremos. x=-1 e x=2 são pontos de mínimo local e x=0 é um ponto de máximo local, mas f ‘(-1)=2 e f ‘(2)=-4.

Vamos dá uma olhada na nossa função e suas derivadas

Os pontos A e B são os pontos críticos e são os zeros da primeira derivada. Os pontos C e D são os pontos na função. Pela linha pasando pelos pontos AC e BD, vemos a intersecção a segunda derivada (reta azul), e assim temos o visual para a aplicação da primeira e segunda derivadas para os pontos críticos de uma função. Por fim, num próximo momento vamos resolver alguns exercícios, até a próxima!