Desigualdade triangular: Um resultado importante

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A desigualdade triangular é uma das mais frequentes desigualdades dentro da matemática, em particular, na análise. Nesse sentido, ter em mente o entendimento da sua estrutura, bem como, saber empregá-la em diferentes situações pode ser um ponto forte para a garantia de diversos resultados e estimativas de aproximação.

Tendo isso em vista, nesse artigo nós da MeuGuru preparamos um texto especial para você gurunauta. De fato, hoje vamos estudar essa desigualdade, sua demonstração e como podemos generalizá-la. Então, vem comigo que hoje nosso artigo está pronto para você que está buscando melhorar o seu formalismo matemático e ainda aprender mais sobre essa importante desigualdade.

Entendendo a desigualdade triangular

Antes de começarmos a falar especificamente do assunto, precisamos evocar uma importante função matemática, a função módulo. Em verdade, veremos que nossa desigualdade é intimamente ligada ao módulo de números reais. Nesse sentido, definimos que o módulo de um número real x é simbolizado por |x| e escrevemos que.

definição de módulo de um número real x.

Ou seja, o módulo de um número x é, em verdade, o valor absoluto do número, por outro lado, podemos ainda obter um sentido geométrico para o módulo que é a distância do número x até a origem 0 dos reais.

Tendo em mãos a noção de módulo, podemos enfim evocar a elegantíssima desigualdade triangular. Com efeito, consideremos dois números reais a e b, então vale que.

De fato, esse resultado é suficientemente forte, visto que, sua generalidade estende-se para quaisquer reais a e b. Em virtude disso, podemos enunciar esse resultado como um Teorema, o qual segue abaixo.

Desigualdade triangular.

Esse Teorema pode ser demonstrado facilmente. Nesse sentido, vamos agora demonstrar essa desigualdade, com efeito, primeiro precisamos do seguinte Lema.

Lema e demonstração de um resultado auxiliar para a desigualdade triangular.

De posse desse Lema, podemos provar a desigualdade triangular, com efeito, teremos que

Demonstração da desigualdade triangular.

Generalizando a desigualdade

Agora, de posse da desigualdade triangular, podemos ainda generalizá-la para o caso em que temos n números reais. Em verdade, nesse caso, poderemos ter o seguinte Teorema.

essa demonstração pode ser feita simplesmente usando indução finita sobre n. Então gurunauta, que tal por a mão na massa e demonstrar esse resultado?, vou te dar uma dica para demonstrar, basta seguir os passos:

  • Começar do caso com dois termos que é a desigualdade triangular já provada,
  • Depois disso, você deve generalizar para o caso com n termos e assumir isso como verdade,
  • Agora, você deverá usar o resultado do primeiro Teorema nessa desigualdade obtendo o desejado.

é com você agora gurunauta, mete bronca e vamos juntos. E claro, quaisquer coisas, contate a MeuGuru que temos um guru especial para seus problemas.

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