Divergente na matemática, entenda o que é

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O divergente é um dos operadores diferenciais mais importantes quando entramos no cálculo de funções de várias variáveis. Não apenas isso, mas o conceito de divergente urge já nos cálculos iniciais. Em suma, nós somos apresentados a esse operador como uma nova forma de calcularmos derivadas. Por outro lado, além da relevância matemática, esse operador passa a ser interessante por suas inúmeras aplicações para o tratamento de funções de várias variáveis.

Tendo isso em vista, nós da MeuGuru preparamos um texto especial para você, onde vamos abordar o que é esse operador e ainda apresentaremos exemplos resolvidos.

O que é o operador divergente

O operador divergente é um conceito importante na matemática e na física que é usado para descrever a expansão ou contração de um campo vetorial em um determinado ponto. Ele é um operador diferencial vetorial e é denotado pelo símbolo.

Em três dimensões, a definição do operador divergente é a soma das derivadas parciais das componentes do campo vetorial em relação a cada coordenada. De forma matemática, o operador divergente é expresso pela seguinte fórmula.

Definição de operador divergente.

Onde, o campo vetorial tridimensional tem componentes Fx , Fy e Fz $F_x$, $F_y$, e nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente. Por outro lado, em duas dimensões, a definição do operador divergente é semelhante, mas com apenas duas coordenadas isto é

Comentário sobre aplicações

O operador divergente tem diversas aplicações em áreas como física, engenharia e ciências ambientais. Em particular, podemos citar algumas dessas aplicações. Com feito, na física, ele é usado para calcular fluxo e analisar conservação de massa e a lei de Stokes. Por outro lado, nas engenharias vemos que esse operador é empregado para a análise de estruturas e cálculo de forças internas.

Ademais, quando olhamos para as ciências ambientais, obtemos algumas aplicações muito interessantes. Em particular, nesse contexto, o operador divergente pode ser empregado para modelar o movimento de poluentes e analisar a qualidade do ar e da água.

Exemplos resolvidos

Agora, sabendo a definição do operador divergente podemos então passar a praticar esse assunto. Com efeito, vamos fazer o desenvolvimento passo a passo de dois problemas.

Divergente de um campo vetorial de duas componentes

Primeiramente, vamos considerar um campo vetorial de duas componentes, isto é.

primeiro campo vetorial para exemplo do cálculo do divergente.

Com isso, vamos calcular o divergente desse campo vetorial. Para tanto, usando a definição mostrada anteriormente teremos que o passo a passo desse desenvolvimento pode ser feito calculando as derivadas parciais acima separadamente, ou seja, teremos que

Cálculo das derivadas parciais para a determinação do divergente do campo vetorial.

Portanto, com isso obteremos, finalmente, o seguinte resultado.

Divergente do exemplo calculado.

Divergente de um campo vetorial de três componentes

Agora, vamos resolver um problema similar, porém, nesse caso teremos três componentes no nosso campo vetorial. Agora, consideremos o problema para o dado campo

segundo campo vetorial para exemplo do cálculo do divergente.

Então, o cálculo do divergente de G é feito, passo a passo, da seguinte forma

Calculo passo a passo do divergente de G.

e assim fica resolvido o problema.

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