EDOs: equações de Bernoulli em quatro passos

Nesse artigo vamos falar sobre EDOs, precisamente, vamos ver o que são e como resolver as equações de Bernoulli ou, simplesmente, a EDO de Bernoulli.
Decerto, as EDOs de primeira ordem constituem o primeiro conjunto de equações diferenciais que somos apresentados. Portanto, essas figuram parte importante da componente curricular de um primeiro curso de equações diferenciais. Em particular, é nesse contexto que conhecemos algumas equações não lineares que são exatamente solúveis, por exemplo, as equações de Bernoulli e Riccati.

Tendo isso em vista, vamos ao longo desse texto entender o que são as EDOs de Bernoulli e como é possível resolver essas equações em quatro passos simples. Então, vem comigo que vamos detonar esse assunto.

O que são as equações de Bernoulli (EDOs de Bernoulli)

Então, vamos começar caracterizando essas equações, mas, antes disso, é necessário fazermos uma importante ressalva. Decerto, nosso objetivo é introduzir os conceitos elementares sobre essa importante EDO, logo, tomaremos a licença poética de nos abstermos de certo grau do rigor matemático que circunda a elegante teoria das equações diferenciais. Feita essa consideração, podemos partir ao nosso objetivo central. Com efeito, considere uma função diferenciável y=y(x), então a equação diferencial

com P(x) e Q(x) duas funções contínuas e n um número real é chamada de Equação diferencial de Bernoulli, Equação de Bernoulli ou, simplesmente, EDO de Bernoulli. Agora, veja que para n=0 e n=1 a EDO acima passa a ser, respectivamente, dada por

ou seja, para n=0 e n =1 as EDOs de Bernoulli são equações lineares de primeira ordem. Essa análise evidencia a ideia de que essas equações são uma generalização das EDOs lineares.

Com isso exposto, vamos exigir que n seja diferente de 0 e 1. Sob essa condição a EDO de Bernoulli é, de fato, uma equação não linear e esse é o caso de maior interesse.

Como resolver as EDOs de Bernoulli

Agora que sabemos o que são as equações de Bernoulli, vamos ver como resolver essas equações. Para tanto, vamos estabelecer os quatro passos para a solução de uma EDO de Bernoulli.

Passo 1

Inicialmente você deve identificar o valor de n. Note que como n é um número real, números como 1/2 e 1/3 podem ser associados a não linearidades. Essa observação é importante por que podemos, por vezes ter termos como raiz(y) = y^1/2.

Passo 2

Você deve fazer uma mudança de variável estratégica de modo a transformar a EDO de Bernoulli em uma EDO linear. Essa mudança é regida pelo seguinte Teorema

Tá vendo como é importante identificar o n na EDO de Bernoulli?. Ele define a forma da mudança de variável.

Passo 3

Resolver a equação diferencial linear na variável z. Isto é, agora você deve resolver a seguinte EDO

A EDO acima é linear, ou seja, as técnicas usuais podem ser empregadas para que você resolva e tenha a solução. Mas cuidado, a resposta que você irá obter será uma função z, não a função y que corresponde a EDO de Bernoulli.

Passo 4

Tendo em mãos a função z, para você obter a solução y final resta, apenas, que você volte as variáveis originais. Para isso, você deve usar a relação inicial do Teorema, isto é

daí, isolando y acima você obterá a solução da EDO de Bernoulli.

Com isso, chegamos ao fim gurunauta. Espero ter te ajudado e qualquer coisa, lembre-se de sempre contar com a MeuGuru para te ajudar nos perrengues da vida universitária.