O objetivo desse texto é apresentar ao leitor alguns exemplos de relações de equivalência. Esse tipo de relação é verificada através de três propriedades e pode nos dar uma série de outras para trabalhar com o conjunto em questão com essa equivalência.
Revisão sobre relações.
Antes de ir aos exemplos vamos revisar o que é uma relação.
S é um relação de um conjunto A para B se S⊂AxB, isto é uma relação entre dois conjuntos é um subconjunto do produto cartesiano entre eles.
Assim, o conjunto vazio é relação entre quaisquer dois conjuntos e um produto cartesiano é uma relação entre dois conjuntos.
Um comentário importante para o tipo de relação que vamos definir é que dizemos que S é uma seleção em A se for uma relação de AxA.
Caso o leitor queria saber mais sobre relações ele pode conferir o seguinte texto aqui do blog:
Revisão sobre relações de equivalência.
Dizemos que S, uma relação em A, é de equivalência se ela é, simultaneamente:
1) (Reflexiva)
Para todo x que pertence A, então (x, x)∈S.
Mais coloquialmente, todo elemento de A se relaciona com ele mesmo por S.
2) (Simétrica)
Para todos x e y que pertencem a A, se (x, y)∈S então (y, x)∈S então.
Isto é, em S, se x se relaciona com y então, y se relaciona com x.
3) (Transitiva)
Para todos x, y e z que pertencem a A, se (x, y)∈S e (y, z)∈S então (x, z)∈S.
Portanto, podemos apenas dizer que uma relação é de equivalência se ela é reflexiva, simétrica e transitiva.
Caso o leitor queria saber mais sobre relações ele pode conferir o seguinte texto aqui do blog:
Exemplos relações de equivalência
Vamos ver, agora, alguns exemplos para, assim, ficarmos mais confortáveis com essa definição.
A primeira relação que vamos tomar de exemplos é bastante básica. A relação de igualdade, como era de se esperar, é de equivalência.
Isto é, seja a relação, em um conjunto qualquer, tal que a se x é igual a y então x se relaciona com y.
Assim, é claro que x=x, logo é reflexiva. Também, se x=y então y=x, logo é simétrica. E, finalmente, se x=y e y=z então x=z, logo é transitiva. Portanto, = é uma relação de equivalência.
Para o segundo exemplo. Tome a relação S nos inteiros tal que xSy se deixam o mesmo resto na divisão por 5.
Daí, é claro que um número deixa o mesmo resto que ele mesmo na divisão por 5, logo é reflexiva.
Também, se x deixa o mesmo resto que y na divisão por 5, então y deixa o mesmo resto que x na divisão por 5, logo é simétrica.
E, ainda, se x deixa o mesmo resto que y e y deixa o mesmo resto que z, é claro que x deixa o mesmo resto que z na divisão por 5, logo é transitiva.
Um próximo exemplo. Numa sala de aula dizemos que dois alunos se relacionam se eles fazem aniversário no mesmo mês. Daí é claro que todo mundo se relaciona consigo mesmo, donde diz que essa relação é reflexiva.
Também, se um aluno A faz aniversário no mesmo mês que o aluno B, então o B faz no mesmo mês que A. E, ainda, se A faz aniversário no mesmo mês que B e B no mesmo mês que C, então A faz no mesmo mês que C, logo é transitiva.
Agora é sua vez, escreva as propriedades que mostram que as seguintes relações são de equivalência:
Uma relação sobre todos os triângulos que eles se relacionam caso sejam congruentes.
A relação sobre os números reais que eles se relacionam caso tenham o mesmo módulo.
A relação entre um grupo de amigos que eles se relacionam se tem o mesmo tipo sanguíneo.
