Exercícios de divisão euclidiana

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O objetivo deste texto é apresentar ao leitor uma série de exercícios de divisão euclidiana. Esses exercícios são básicos e servem para dar suporte a estudos mais profundos que podem ser feitos sobre números naturais e inteiros e suas propriedades.

Revisão.

Antes de partir para os exercícios vamos lembrar rapidamente o que diz a divisão euclidiana e como funciona o algoritmo da divisão.

Dados dois números naturais a e b, com a maior que 0, existem únicos naturais q e r tal que b=qa+r, com 0≤r<a.

Encontrar os valores de q e r é o que chamamos de efetuar a divisão de b por a. Também, nomeamos, neste caso, b de dividendo, a de divisor, q de quociente e r de resto.

É possível estender essa definição para os inteiros, basta considerar a e b inteiros, com a>0. E, q e r inteiros com 0≤r<a.

O algoritmo da divisão consiste em subtrair a de b q vezes, isto sendo, até o valor da subtração ser menor que a, e esse valor da última subtração será justamente r.

Por exemplo: 8 dividido por 3:

1) 11-3=8

2) 8-3=5

3) 5-3=2, paramos aqui porque 2 é menor que 3.

Logo o quociente dessa divisão é 3, pois realizamos 3 subtrações até parar, e o resto é 2.

Caso o leitor queira mais explicações sobre o algoritmo da divisão euclidiana pode conferir o seguinte texto:

Algoritmo da divisão euclidiana

Exemplos.

Vamos agora resolver um exemplo que envolve a divisão euclidiana.

Exemplo. Mostre que dados três números 2a, 2(a + 1) e 2(a + 2), um e apenas um deles é múltiplo de 3.

Nesta ocasião, o leitor já deve ter percebido que há 3 restos possíveis na divisão por 3, o 0, 1 ou 2. Pois r é um inteiro com 0≤r<3.

Daí, vamos considerar as três possibilidades para 2a.

Caso 1) Se 2a deixa resto 0 na divisão por 3. Então, 2a=3q, para q inteiro.

Logo 2(a+1)=2a+2=3q+2, isto é, 2(a+1) deixa resto 2.

E, 2(a+2)=2a+4=3q+3+1=3(q+1)+1, isto é, 2(a+2) deixa resto 1.

Caso 2) Se 2a deixa resto 1 na divisão por 3. Então, 2a=3q+1, para q inteiro.

Logo 2(a+1)=2a+2=3q+1+2=3(q+1), isto é, 2(a+1) deixa resto 0.

Em 2(a+2)=2a+4=3q+1+4=3(q+1)+2, isto é, 2(a+2) deixa resto 2.

Caso 3) Se 2a deixa resto 2 na divisão por 3. Então, 2a=3q+2, para q inteiro.

Logo 2(a+1)=2a+2=3q+2+2=3(q+1)+1, isto é, 2(a+1) deixa resto 1.

Em 2(a+2)=2a+4=3q+2+4=3(q+2), isto é, 2(a+2) deixa resto 0.

Portanto, independente do caso, 2a, 2(a+1) e 2(a+2), um e apenas um deles é múltiplo de 3.

Exercícios de divisão euclidiana.

Agora é sua vez, tente resolver os seguintes exercícios:

Exercício 1. Mostre que a única terna de primos trigêmeos é (3, 5, 7).

Exercício 2. Por que os únicos restos possíveis na divisão por 2 são 0 e 1?

Exercício 3. Uma loja de balas quer montar kits de balas com 5 balas cada kit, e ela dispõe de 1342 balas. Quantos kits será possível montar?

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