Exercícios de mdc e mmc

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Esse texto vai trazer alguns exemplos e propor algumas práticas através de exercícios de mdc e mmc. Esse blog possui textos que explicam o que é e quais as principais propriedades do mdc e do mmc. 

O nosso objetivo é justamente exercitar as noções já apresentadas e com isso desenvolver técnicas para resolver exercícios que comumente aparecem em concursos, vestibulares, no ENEM e avaliações de matemática.

Exemplos.

Vamos começar por um problema contextualizado sobre múltiplos, em que usamos a noção de mmc para resolver.

Exemplo 1. 

Uma tartaruga e uma lebre dão voltas em uma pista de corrida. A lebre dá uma volta a cada 6 minutos e a tartaruga dá uma volta a cada 20 minutos. Suponha que, ambas saíram juntas e ficaram dando voltas na pista.

a) Após quanto tempo a lebre e a tartaruga se encontrarão pela primeira vez na largada novamente? 

b) Quantas voltas a tartaruga terá dado no momento do encontro?

c) E a Lebre, quantas voltas terá dado no momento do encontro?

Resposta do exemplo 1.

a) Primeiro, perceba que a Lebre se encontrará na largada a cada vez que der uma volta, logo será após 6 minutos, depois 12 minutos, 18 minutos, e assim por diante. Isto é, a lebre estará na largada após múltiplos de 6 em minutos.

Por outro lado, a tartaruga estará na largada após múltiplos de 20.

Como queremos o primeiro encontro entre a lebre e a tartaruga na largada, queremos encontrar o menor múltiplo comum entre 6 e 20. Esse é justamente o valor do mmc entre esses números.

Podemos usar qualquer uma das técnicas para o cálculo do MMC.

Portanto a tartaruga e a lebre se encontrarão na largada após mmc(6, 20) = 60 minutos.

b) Como terão passado 60 minutos a tartaruga terá dado 60/20 = 3 voltas.

c) Como terão passado 60 minutos a lebre terá dado 60/6 = 10 voltas.

Exemplo 2.

Roberto gostaria de cobrir com mini cerâmicas a maquete de um piso de dimensões 15 cm por 6 cm. Ele quer usar cerâmicas quadradas de forma que não sobre ou falte nenhum espaço para ser coberto. Ele também quer usar o quadrado com o lado um número inteiro de centímetros de maior dimensão possível.

a) Qual a medida do lado da mini cerâmica que deve ser usada por Roberto?

b) Quantas mini cerâmicas ele vai usar para cobrir a maquete?

Resposta do Exemplo 2.

a) Veja que como o lado do quadrado tem medida inteira e deve cobrir totalmente o lado de 15 centímetros, então ele terá que ter a medida do lado um divisor de 15, isto é 1, 3, 5 ou 15 centímetros.

Também, ele deve cobrir totalmente o lado de 6 centímetros, então ele terá que ter a medida de um divisor de 6 centímetros, então ele terá que ter a medida de do lado um divisor de 6, isto é 1, 2, 3 ou 6.

Por outro lado, Roberto gostaria de usar o lado com a maior medida possível, logo é o maior número que divide 15 e 6 simultaneamente. Perceba que essa é justamente a noção entre mdc de 15 e 6.

Portanto o lado da mini cerâmica usada por Roberto deve ter mdc(15, 6) = 3 centímetros.

b) Ao todo o piso da maquete possuí 15*6 = 90 cm².

Cada mini cerâmica possui 3*3 = 9 cm².

Portanto Roberto usará 90/9 = 10 mini cerâmicas para cobrir a maquete.

Exercícios de mdc e mmc

Agora é a sua vez, busque resolver os exercícios a seguir, que usam as ideias de MMC e MDC.

Exercício 1. 

Uma fábrica de barbante produziu 3 rolos de medidas 120, 180 e 240 centímetros. Você ficou com a tarefa de cortar esses rolos em pedaços de mesma medida, de forma que não haja desperdício. 

a) Qual será a medida de cada pedaço se eles tiverem o maior comprimento possível?

b) Quantos pedaços serão formados por cada uma dos rolos?

Exercício 2. 

José e Maria vivem viajando de sua cidade para a cidade vizinha. Sempre que o dia de suas viagens caí junto eles viajam no mesmo carro. Maria viaja a cada 12 dias e José viaja a cada 8 dias. Eles viajaram juntos no dia 1 de julho, quando isso ocorrerá novamente?  

Respostas

Antes de olhar as respostas do exercício, busque fazer sozinho isso vai te fazer aprender muito mais do que só olhar os resultados.

Leia aqui sobre MDC.

Também Leia sobre MMC.

1. 

a) 60cm

b) 2, 3 e 4 respectivamente.

2. 

25 de julho.

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