Exercícios de Paridade com Pares

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O objetivo desse texto é oferecer ao leitor uma série de exercícios de paridade com pares. A princípio iremos resolver um exemplo que introduziu uma técnica de resolução que envolva paridade, e, os demais exercícios ficarão como desafios para o leitor aprender mais sobre paridade. Esse texto faz parte uma série de textos sobre paridade que o leitor pode acessar ao fim.

Introdução

Vamos inicialmente relembrar as noções de paridade.

Resumidamente, dizemos que um número par tem paridade par e um número ímpar tem paridade ímpar.

Esse conceito é demasiadamente simples, mas muito poderoso e aparece na solução de muitos problemas, como o leitor poderá observar nos exemplos e exercícios do texto. Também, apesar da simplicidade, isso não será sinônimo de facilidade, é possível pensar em problemas muito difíceis com esse conceito tão simples.

Caso o leitor queira ler um texto apenas sobre paridade pode conferir o seguinte:

Paridade

Exemplos.

Exemplo 1. É possível desenhar um caminho fechado com 9 segmentos de reta onde cada um dos segmentos intersecta exatamente um dos outros segmentos?

A resposta para esse exemplo é não. Antes de explicarmos o porquê é interessante que o leitor tente se convencer disso tentando ele mesmo desenhar essa caminho com 9 segmentos como propõe o exemplo. Assim, com um pouco de observação pode ser que surja a ideia de como resolver.

Com a certeza que o leitor não conseguiu desenhar tal caminho, segue a solução.

Para resolver basta observar que se o caminho proposto fosse possível, então poderíamos dividir os segmentos de reta em pares, formados pelos pares de segmentos que se intersectam. E isso pode ser feito pois cada intersecção é entre exatamente dois segmentos, e esses dois segmentos só podem estar participando de uma intersecção.

Mas, dessa forma, o número de segmentos seria par e assim não dá para serem 9 segmentos.

A ideia principal dessa solução é dividir um conjunto de coisas em pares de alguma coisa que os relaciona.

Vejamos um outro exemplo antes de partir para os exercícios.

Exemplo 2. É possível cobrir um tabuleiro 5×5 por dominós 1×2?

Utilizando a mesma ideia do problema anterior, veja que cada dominó cobre um par de casas, mas o tabuleiro possui um número ímpar de casas, 5×5=25. Portanto é impossível tal cobertura.

Exercícios de Paridade com Pares

Exercício 1. Dado um polígono convexo com 99 lados com um eixo de simetria. Argumente o porquê do eixo de simetria conter um de seus vértices. E se fosse um polígono de 10 lados?

Exercício 2. Em um conjunto de dominós são descartados todos que não têm bolinhas em uma das extremidades. Os dominós que sobraram podem ser arrumados de modo que o número de bolinhas nas extremidades de dois dominós adjacentes sejam iguais?

Exercício 3. São colocadas 25 peças em um tabuleiro de damas 25×25 de modo que suas posições são simétricas em relação a uma de suas diagonais. Prove que pelo menos uma das peças está sobre a diagonal.

Confira também:

Exercícios de Paridade com Alternância

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