Como fatorar polinômio do segundo grau

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O objetivo desse texto é propor uma forma prática de conseguir uma fatorar polinômio de segundo grau. 

Obter a forma fatorada de um polinômio é bastante útil para diversos fins na matemática. Essa forma pode nos ajudar a comparar polinômios e identificar algumas características. 

Também se mostra útil em aplicações de cálculo como o cálculo de limites, ou na análise de sinal de uma função polinomial.

Pequena revisão

Antes de partir para a prática vamos dar uma pequena revisada.

Um polinômio do segundo grau tem a seguinte forma: ax²+bx+c, onde a, b, e c são números reais. Um polinômio do primeiro grau tem forma ax+b, onde a e b são números reais. E, ainda, podemos dizer que um número real é um polinômio constante, ou de grau zero.

Dizemos que um polinômio do segundo grau é mônico quando nesse polinômio o índice a=1.

Também, dizemos que um polinômio está fatorado quando conseguimos expressar ele como multiplicação de polinômios não constantes de graus menores que ele. Por exemplo, x² + x = x (x+1).

No exemplo anterior o polinômio x²+x tem grau dois e está sendo representado como a multiplicação de dois polinômios de grau um.

Considerações iniciais

Você verá a seguir que fatorar um polinômio do segundo grau não é uma tarefa difícil e temos formas aritméticas bem definidas para fazer isso.

A primeira pergunta que deve ser feita é: é sempre possível fatorar um polinômio de segundo grau?

A resposta para essa pergunta é: não. Pelo menos não considerando um polinômio definido com os coeficientes reais. 

Num segundo estudo sobre polinômios que pode ser feito na disciplina de álgebra e será tópico no futuro aqui no blog, você verá que dependendo do corpo que é definido os coeficientes do polinômio, podemos fatora-lo completamente. 

O conceito de fatoração completa também não está presente nesse texto e ficará para outro texto. Aqui nos deteremos apenas o necessário para a prática.

Fatorar polinômio do segundo grau: prática

Vamos ver que fatorar um polinômio mônico do segundo grau é relativamente simples, então a primeira coisa que faremos é transformar nosso problema de fatorar um polinômio de segundo grau qualquer em problema de fatorar um polinômio mônico de segundo grau.

Portanto, se você pretende fatorar um polinômio não-mônico o seu primeiro passo será transformá-lo num polinômio mônico. Para isso, basta evidenciar o coeficiente a, transformando seu polinômio na multiplicação de uma constante por um polinômio mônico.

Isso é feito da seguinte forma: ax²+bx+x = a ( x² + b/a x + c/a ).

Logo agora vamos fatorar o polinômio x² + b/a x + c/a em vez do ax²+bx+x.

Para isso precisamos calcular as raízes desse novo polinômio, uma tarefa bem simples utilizando a Fórmula de Bhaskara ou outra técnica.

Suponha que sejam x₁  e x₂ as raízes do nosso polinômio, então:

x² + b/a x + c/a = (x-x₁)(x-x₂)

Perceba que, já encontramos uma fatoração do nosso novo polinômio, assim, basta substituir ela na equação inicial:

ax²+bx+x = a(x-x₁)(x-x₂)

Ainda podemos escrever da seguinte forma, para não ficarmos com uma constante sobrando:

ax²+bx+x =(ax-ax₁)(x-x₂)

Observações

Veja que, se o nosso polinômio inicial já for mônico, basta encontrar suas raízes e escrever diretamente sua fatoração.

Também que, quando possível, a única forma de fatorar um polinômio de segundo grau é em dois polinômios de primeiro grau. Há um resultado que nos diz que essa fatoração é de certa maneira única, tópico que será aprofundado em outro texto só sobre fatoração de polinômio.

Ainda, que alguns polinômios não conseguiremos fatorar, e isso acontecerá quando não existirem as raízes reais no momento que formos calculá-las. Uma forma prática de verificar isso é calcular o Delta da polinômio, como se fosse uma equação polinomial do segundo grau, se o Delta for menor que 0, então o polinômio não poderá ser fatorado.

Fatorar polinômio do segundo grau: exemplos

Vamos começar por um polinômio mônico: x²-4x-12

As raízes desse polinômio são -2 e 6, logo: x²-4x-12 = (x-(-2))(x-6) = (x+2)(x-6)

Agora, um exemplo não-mônico: 2x^2+5x-3

Primeiro, colocando o 2 em evidência: 2x^2+5x-3 = 2(x^2 + 5/2 x – 3/2)

As raízes de x^2 + 5/2 x – 3/2 são -3 e 1/2. Logo:

2x^2+5x-3 = 2(x-1/2)(x-(-3)) = (2x-1)(x+3)

Fácil, né? Agora você está pronto para sair fatorando os polinômios do segundo grau que encontrar.

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