Fibonacci: O matemático que contava coelhos

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Leonardo Pisano Bigollo ou como é conhecido: Fibonacci foi um dos grandes matemáticos do século XIII. Certamente, você já deve ter ouvido falar sobre a sequência de Fibonacci e/ou sobre o número de ouro e as elegantes proporções existentes na natureza. De fato, os estudos desse matemático o colocam em um alto patamar entre vários distintos nomes da área principalmente pela beleza dos seus resultados.

Nesse sentido, nós da MeuGuru decidimos nesse artigo te trazer um pouco desse incrível nome da história da matemática. Com efeito, aqui vamos explorar um pouco da vida e obra de Fibonacci bem como te explicaremos sua tão famosa sequência. Ademais, vamos ainda conectar esse desenvolvimento com o chamado número de outro através do cálculo do limite de uma sequência específica.

Conhecendo Leonardo Fibonacci

Fibonacci, cujo nome verdadeiro era Leonardo Pisano Bigollo, foi um matemático italiano do século XIII. Decerto, sua grande contribuição, a menos a que o faz ser suficientemente conhecido para muito mais do que apenas estudantes de matemática é a introdução da sequência de Fibonacci no mundo ocidental. Todavia, o mesmo ainda possui algumas contribuições para a aritmética e a matemática recreativa.

Com efeito, o matemático nasceu por volta de 1170 em Pisa, na Itália, e viajou extensivamente com seu pai, um comerciante de negócios. Em particular, as viagens realizadas com seu pai mercador foram decisivas para a formação do jovem uma vez que ao ter contato com o norte da África e o Oriente Médio ele pode ter a oportunidade de estudar com matemáticos árabes e aprender os sistemas numéricos e as técnicas matemáticas avançadas da época. Ademais, foram esses estudos iniciais que despertou seu fascínio e amor pela matemática com ênfase no sistema de numeração indo-arábico, que consiste em nossa representação numérica atual cuja base de numeração é a decimal.

Então, de posse da formação em matemática apurada ao longo das viagens pelo oriente médio Fibonacci, ao retornar à Itália iniciou a escrita de diversos livros com foco em popularizar os conhecimentos matemáticos que havia aprendido para a Europa. Com efeito, Seu livro mais famoso é o “Liber Abaci” (Livro de Cálculo), publicado em 1202 o qual Fibonacci apresentou o sistema de numeração indo-arábico e demonstrou sua eficiência para cálculos comerciais e aritméticos o que era de grande interesse e necessidade para a Europa no dado momento. Além disso, foi nesse mesmo livro que o matemático introduziu a sequência de Fibonacci que logo seria seu grande trabalho.

Seu legado

De fato, Leonardo Pisano realizou contribuições memoráveis para o estudo da teoria dos números, incluindo o estudo de divisibilidade, congruência e problemas de soma de séries aritméticas. Ademais, sua obra e legado continua viva até hoje uma vez que seus trabalhos tiveram papel importante para o desenvolvimento da matemática na Europa, introduzindo conceitos e técnicas matemáticas avançadas que tiveram um impacto duradouro. Além disso, sua sequência continua sendo alvo de estudo em diversas áreas que vão bem além da matemática pura por exemplo em padrões biológicos, sistemas de estruturas moleculares códigos computacionais e até em finanças.

A famosa sequência de Fibonacci

Por mais que seu trabalho se estenda sobre muitas áreas de longe a sequência de Fibonacci é o seu trabalho mais popular. Certamente, você gurunauta já deve ter ouvido falar desse tema em algum lugar seja num livro, numa aula ou mesmo em algum filme de ficção científica. Nesse sentido, vamos agora te explicar o que é a sequência de Fibonacci.

Com efeito, essa sequência numérica é uma sequência de números naturais que é definida sobre uma forma recursiva. Isto é, os termos seguintes dependem dos anteriores. Em suma, a sequência pode ser definida começando a partir de 0 ou 1, aqui começaremos de 1 que é algo bem usual. Então, veja que definimos o primeiro termo da sequência como F_1 = 1 e o segundo termo como F_2 = 1, agora, para o terceiro termo definamos ele como a soma de F_1 e F_2, ou seja: F_3 = F_1+F_2 = 2. Ademais, para o quarto termo definimos ele como a soma de F_3 e F_2, isto nos dá que F_4 = F_3+F_2 = 2+1=3. Assim, todos os termos seguem essa mesma lógica de definição.

Portanto, um termo geral para a sequência de Fibonnaci vem da seguinte estrutura:

  • F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2} com F_1=F_2 = 1.

Com isso é possível gerar todos os números dessa sequência. Decerto, com uso da linguagem de programação Python a seguir nós elaboramos um pequeno código que permite a computação dos valores da sequência.

Código em Python que calcula os termos da sequência de Fibonacci.

Algumas aplicações da sequência de Fibonacci

Ademais, a sequência de Fibonacci possui várias aplicações práticas em nosso cotidiano e em várias áreas do conhecimento. Por exemplo, podemos citar as seguintes:

  1. Estudos de crescimento populacional. Por exemplo, em algumas espécies de coelhos, onde cada casal de coelhos produz uma nova ninhada a cada dois meses, a sequência de Fibonacci pode ser usada para estimar o número total de coelhos em uma determinada população ao longo do tempo.
  2. Análise de mercado financeiro. A sequência de Fibonacci é frequentemente aplicada na análise técnica de mercados financeiros, como ações, moedas e commodities.
  3. Teoria dos jogos e estratégias competitivas. A sequência de Fibonacci pode ser a usada para calcular pontuações em alguns jogos, como o Poker Fibonacci.

O número de ouro e a sequência de Fibonacci

Além das aplicações que citamos anteriormente, é muito conhecido que a sequência de Fibonacci é intimamente ligada a proporções muito específicas. De fato, essa sequência possui íntima relação com a proporção áurea a qual é equivalente ao chamado número de ouro que pode ser obtido como limite de um caso específico da sequência de fibonacci. Ademais, as proporções da sequência de Fibonacci são bem difundidas na composição visual da espiral de Fibonacci a qual mostramos a seguir.

Com efeito, vamos agora introduzir a sequência geradora do número de ouro. Para tanto, escrevamos a sequência de Fibonacci como:

  • F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}

Agora, vamos dividir tudo por F_{n+1}. Com isso, vamos ter ao definir que r_n = F_{n+2}/ F_{n+1} e r_{n-1} = F_{n+1}/F_{n} a seguinte sequência:

  • r_n = 1 + 1/r_{n-1}

De fato, essa sequência é uma sequência convergente e converge para aproximadamente 1.608 que é a medida do número de ouro que chamamos de \phi. A seguir plotamos o gráfico do comportamento dos pontos da sequência em função dos n naturais e mostramos que de fato a sequência tende a se aproximar assintoticamente de 1.608.

Referências

  • KNOTT, R. Fibonacci Numbers and the Golden Section. Disponível em: https://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fib.html. Acesso em: 21 out. 2023.
  • SINGMASTER, D. On the Fibonacci Sequence. In: Fibonacci Quarterly, v. 4, n. 1, p. 1-8, 1966. Disponível em: https://www.jstor.org/stable/2312788. Acesso em: 21 out. 2023.
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  • DEVLIN, K. Finding Fibonacci: The Quest to Rediscover the Forgotten Mathematical Genius Who Changed the World. Princeton: Princeton University Press, 2017.
  • DUNLAP, R. A. The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. Singapore: World Scientific Publishing, 1997.
  • LIVIO, M. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number. New York: Broadway Books, 2003.
  • Conway, J. H., & Guy, R. K. (1996). The Book of Numbers. Nova York: Copernicus.
  • Sigler, L. E. (2002). Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation. Nova York: Springer.
  • Devlin, K. (2011). The Man of Numbers: Fibonacci’s Arithmetic Revolution. Nova York: Walker Publishing Company.
  • Pappas, T. (1993). The Joy of Mathematics: Discovering Mathematics All Around You. San Carlos: Wide World Publishing/Tetra.
  • Brualdi, R. A. (2012). Fibonacci and Catalan Numbers: An Introduction. Boca Raton: CRC Press.

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