Função afim: introdução

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Em matemática podemos formar funções de tipos mais variados, e nesse texto iremos começar o estudo sobre um tipo especial dessas funções, a função afim, que também pode ser chamada de função polinomial do primeiro grau.

Preliminares

Antes de definirmos as noções importantes das funções afim vamos relembrar o conceito de funções em geral.

Uma função de A em B é uma relação em AxB, onde todo elemento de A está associado a um, e exatamente um, elemento de B. Chamamos A de domínio da função, e B contradomínio.

O conjunto dos elementos de B que possuem pelo menos um elemento de A associado a eles chamamos de Imagem de f.

Função afim: definição

Definiremos função afim como uma função dos Reais nos Reais que tem a seguinte forma: f(x)=ax+b, onde a e b são números reais e a é diferente de zero.

A representação de uma função afim num plano cartesiano é uma reta que não é paralela a nenhum dos eixos.

Os coeficientes a e b possuem denominações especiais. Chamamos a de coeficiente angular e b de coeficiente linear. Eles recebem esse nome pois o a está associado a inclinação da reta e o b de alguma maneira a translação dela a partir da origem.

O fato do coeficiente a ser diferente de zero é o que faz que a reta não possa ser horizontal.

A imagem de uma função afim é o conjunto dos reais, e ela é uma função injetiva. Portanto é injetivo e sobrejetiva, logo é bijetiva.

Algumas observações

A representação da função no plano cartesiano já sabemos que será uma reta, vamos fazer algumas observações sobre como essa reta se comporta.

O valor do coeficiente linear dessa reta, b, é igual ao valor que o eixo y é cortado. Portanto, a reta passa por (0, b).

Também, o coeficiente angular pode nos informar sobre se a função é crescente ou decrescente. Se a>0, então a inclinação é positiva e f é crescente. Se a<0, então a inclinação é negativa e f é decrescente.

O ponto em que o eixo x é cortado, isto é a raiz de f, é igual a -b/a, logo f passa pelo ponto (-b/a, 0).

Primeiro, perceba que já sabemos apenas com os coeficientes identificar dois pontos da reta, portanto já conseguimos definir como se comporta a reta, pois basta dois pontos para definir unicamente uma reta num plano.

Também, que se o coeficiente linear, b, for igual a zero, então o ponto que corta o eixo x e o  eixo y é a origem, isto é, a reta passa pela origem, e definimos apenas um ponto. Assim, um outro ponto nesse caso pode ser avaliando a função no 1, por exemplo, e seria o ponto (1, a).

Próximos passos

Continue acompanhando o blog, que teremos um próximo texto com exemplos e exercícios sobre funções afim, e também outras informações relacionadas para aprofundar nosso estudo.

Veja também: 

O plano cartesiano: essencial

Cálculo 1: O que são funções e sua importância

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