Integrais Duplas

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Para iniciarmos o assunto de integrais duplas, vamos considerar a figura 1, de modo que: Seja f uma função de duas variáveis contínua, não negativa numa região R do plano xOy.

Integrais Duplas a partir de n's retângulos
Figura 1: Representação de uma função contínua e não negativa

Como desejamos calcular o volume do cilindro limitado pela região R e o gráfico da função f, vamos seguir os seguintes passos

I) Vamos considerar um retângulo de lados paralelos aos eixos Ox e Oy, que contém a região R;

II) Em seguida, vamos dividir esse retângulo em sub-retângulos cujos lados são paralelos aos lados do mesmo.

III) Por fim, excluimos os sub-retângulos que possuam pontos fora da região R.

Integral Dupla a partir de n's retângulos
Figura 2: Subdivisão do domínio de f em n retângulos

De modo que também vamos supor que restaram n desses sub-retângulos.

Assim, o próximo passo é representar a área do k-ésimo sub-retângulo por ΔAk e seja (xk, yk) um ponto desse sub-retângulo.         

Desta forma, o volume do paralelepípedo de área da base ΔAk e altura f (xk, yk) é decerto igual a:

A soma dos volumes de todos os paralelepípedos retângulos cujas bases são os n sub-retângulos é dada por:

Definição de integrais duplas a partir da soma de Riemann

Sendo que está soma é chamada de “soma de Riemann”.

Observe que quando se faz o máximo das ΔAi tender a zero, a soma de Riemann vai se aproximar do volume da porção do espaço compreendida sob o gráfico de f(x,y) e acima da região, de modo que:

equação de in

Definição 1

Seja f uma função de duas variáveis, contínua não negativa numa região R do plano xOy.

Então o volume do sólido compreendido entre a superfície z = f(x,y) e a região R é definido por:

Definição 2

Seja f uma função de duas variáveis definida na região R. Assim, temos a definição de integrais duplas de f(x,y) em R o limite:

definição de integrais duplas a partir do limite de Riemann

Se esse limite existe e é finito.

Assim, temos a seguinte notação:

Definição de integrais duplas

Observe que se a função f for contínua não negativa na região R, desta forma:

Propriedades das Integrais Duplas:

Sejam f(x,y) e g(x,y) funções integráveis na região R e k um número real, então:

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