Integrais trigonométricas recursivas – Parte 2

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Fala gurunauta, nesse artigo vamos falar das integrais trigonométricas recursivas. No entanto, dessa vez, diferentemente do que fizemos na Parte 1, agora vamos nos ater a funções secante e cossecante. De fato, na primeira parte desse texto nos restringimos ao cálculo as funções seno e cosseno. Porém, nesse mesmo texto vimos que todas as funções trigonométricas podem nos dar fórmulas recursivas. Tendo io em vista, nesse artigo vamos explorar essas expressões para as funções secante e cossecante.

Integrais trigonométricas das funções secante e cossecante

Antes de tudo, vamos ver as integrais básicas associadas as funções secante e cossecante. De início, para a função secante temos o seguinte

Definição e integral da função trigonométrica secante.
Expressão 1. Definição e integral da função secante de x, escrita como sec(x) e C é uma constante de integração.

Lembre-se gurunauta, no caso da função sec(x) temos sempre que ela é associada a função cosseno(x) e sua integral é dada pela Expressão 1. Analogamente, temos a função cossecante de x, que denotamos por csc(x). Em particular, pode-se ter várias notações para essa função, como csc(x) ou cossec(x) no entanto, por simplicidade adotamos csc(x). Então, sua definição e integral é dada logo abaixo

Definição e integral da função trigonométrica cossecante.
Expressão 2. Definição e integral da função cossecante de x, escrita como csc(x) e C é uma constante de integração.

De fato, ambas as expressões são pouco ais complicadas que as funções seno e cosseno. Entretanto, a obtenção das fórmulas recursivas é essencialmente análogo e empregaremos, novamente, o uso da integração por partes.

Cálculo das integrais trigonométricas recursivas

Feita as considerações iniciais, vamos agora resolver o problema e determinaremos as expressões recursivas para as seguintes integrais

Integrais trigonométricas das funções secante e cossecante.

Expressão 3. Integrais trigonométricas de recursão das funções secante e cossecante respectivamente.

No entanto, antes de prosseguirmos é importante fazermos uma consideração sobre essas funções. De fato, na parte 1 desse texto nós empregamos a relação fundamenta da trigonometria para as funções seno e cosseno de x que é a seguinte

Expressão 4. Relação fundamental da trigonometria para as funções seno e cosseno de x.

Todavia, teremos que empregar algo assim para nossas funções secante e cossecante. Nesse sentido, é importante obtermos nossa nova relação fundamenta para essas integrais. Em verdade, precisaremos de duas novas relações, uma para cada função. Nesse sentido, para a função secante de x, vamos dividir a expressão 4, de ambos os lados, por cos2(x), com efeito

Expressões para o fórmula da função secante de x para cálculo das integrais trigonométricas recursivas.
Expressão 5. Fórmula trigonométrica para a função secante de x.

Analogamente, para a função cossecante de x, vamos dividir a Expressão 4 por sin2(x), com efeito teremos o seguinte

Expressões para o fórmula da função cossecante de x para cálculo das integrais trigonométricas recursivas.
Expressão 6. Fórmula trigonométrica para a função cossecante de x.

Tendo em mão as Expressões 5 e 6, podemos, enfim, prosseguir com o cálculo

Função secante

Nosso problema é avaliar a integral

Integral trigonométrica da função secante de x elevada a n ésima potência.

Com efeito, temos o seguinte desenvolvimento

onde C é uma constante de integração.

Função cossecante

Agora, vamos nos ater a resolver a seguinte integral

Fazendo o desenvolvimento passo a passo teremos

onde C é uma constante de integração.

Bom gurunauta, espero que esse texto tenha sido útil para você. E lembre-se sempre que, para quaisquer perrengue universitários a MeuGuru tem um guru especial para você.

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