Usamos a Integral Tripla para encontrar alguns volumes de formas clássicas (caixas, cilindros, esferas e cones). Para todas essas formas, integrais triplas não realmente necessárias, mas eu só quero mostrar como você pode usar integrais triplas para encontrá-las, além disso é a melhor forma de aprender, depois podemos ir para formas mais complexas, porém, para isso, o que vamos ver hoje é pré-requisito básico.
Além de que iremos abordar um pouquinho os métodos de coordenadas cilíndricas e esféricas ilustrados. Para quê? Óbvio, o objetivo aqui é ajudá-lo a compreender melhor como configurar uma integral tripla.
Primeiramente, lembre-se de que calculamos o volume de uma região sólida E utilizando ∭ₑdV.
Dessa maneira, vamos começar pela mais simples, uma região retangular.
Integral Tripla: Uma Caixa Retangular
consideramos uma caixa um retangular como um conjunto de desigualdades a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, p ≤ z ≤ q. Assim, o volume é o comprimento vezes largura vezes altura, como esperado. Porém, aqui não é só geometria, vamos montar a integral:
Claro, nesses caso o teorema de Fubini continua válido, ou seja:
Integral Tripla: Um Cilindro Circular
A equação que descreve a borda externa de um cilindro circular com raio A é x² + y² = a². Se quisermos considerar o volume dentro de tal cilindro com altura h, então estamos considerando a região onde x² + y² ≤ a² e 0 ≤ z ≤ h (em outras palavras, entre os planos z = 0 e z = h).
Já temos limites em z, então vamos usá-lo como a integral mais interna. Agora precisamos de limites para o circular x² + y² ≤ a² no plano xy. Podemos fazer isso de algumas maneiras diferentes:
Em coordenadas cartesianas
Descrevemos o sólido utilizando as seguintes desigualdades:
Assim, vamos para a terceira integração e aqui vou pular algumas etapas, porém, faça aí você mesmo, use substituição trigonométrica!
Em coordenadas cilíndricas
Um cilindro circular é perfeito para coordenadas cilíndricas! Descrevemos a região x² + y² ≤ a², de modo que todo o sólido se dá pelas desigualdades 0 ≤ θ ≤ 2𝜋, 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ z ≤ h (mudanças de base). Então, vemos que o volume é:
lembrando que [J] é determinante da matriz do Jacobiano, que para esse caso J = r então, temos que:
Seja qual for a forma, chegamos na forma do cilindro, porém, claro, fazendo a transformação de coordenadas fica muito mais fácil. Vamos para outra forma muito usual, e a última que veremos por hoje!
Integral Tripla: Uma Esfera
A equação para a borda externa de uma esfera de raio a é x² + y² + z² = a². Se quisermos considerar o volume interno, então estamos considerando as regiões x² + y² + z² ≤ a². Assim, vamos considerar as desigualdades de três maneiras, coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.
Em coordenadas cartesianas
Resolver para z dá −√ a²− x² −y² ≤ z ≤ √ a²− x² −y². Então a projeção da esfera no plano xy (ou seja, a equação que você obtém quando tem z = 0 na equação da esfera) é apenas o círculo x² + y² = a². Agora devemos descrever isso com desigualdades. No total, o sólido pode ser descrito pelas desigualdades −a ≤ x ≤ a, −√ a²− x² ≤ y ≤ √ a²− x², −√ a²− x² −y² ≤ z ≤ √ a²− x² −y².
Então podemos encontrar o volume:
Em Coordenadas Cilíndricas
O limite em z ainda seria o mesmo, mas usamos polar para x e y. No total, o sólido pode ser descrito por 0 ≤ θ ≤ 2𝜋, 0 ≤ r ≤ a, −√a² − r² ≤ z ≤ √a² − r². E obtemos um volume de:
Em Coordenadas Esféricas
Em coordenadas esféricas, a esfera é todos os pontos onde 0 ≤ φ ≤ 𝜋 (o ângulo medido para baixo a partir do eixo z positivo varia), 0 ≤ θ ≤ 2𝜋 (assim como em coordenadas polares) e 0 ≤ ρ ≤ a. E obtemos um volume de:
Ou seja, nos três casos, chegamos na fórmula que aprendemos em geometria para a esfera. E por fim e não menos importante vamos avaliar um cone.
Integral Tripla: O Cone
A equação a² z² = h² x² + h² y² fornece um cone com um ponto na origem que se abre para cima (e para baixo), tal que se a altura for z=h então o raio do círculo naquela altura é a (você pode ver isso inserindo z = h e simplificando). Então vamos encontrar o volume dentro deste cone que tem altura h e raio de a naquela altura. Mais uma vez, iremos avaliar nos três sistemas de coordenadas (cartesianas, cilíndricas e esféricas).
Em coordenadas cartesianas
Primeiro temos h/a √x² + y² ≤ z ≤ h. A projeção para baixo no plano xy seria a interseção de z=h e o cone, que é o disco x² + y² ≤ a². Então o sólido pode ser descrito pelas desigualdades -a ≤ x ≤ a, –√a² – x² ≤ y ≤ √a² – x² e h/a √x² + y² ≤ z ≤ h.
Então teremos para o volume:
Em Coordenadas Cilíndricas
O sólido pode ser descrito por 0 ≤ θ ≤ 2𝜋, 0 ≤ r ≤ a, h/ar ≤ z ≤ h. E obtemos um volume de:
Em Coordenadas Esféricas
Em coordenadas esféricas, precisamos encontrar o ângulo, φ, que o cone faz com o eixo z positivo e precisamos encontrar o alcance em ρ. Observando o cone de lado, o ângulo φ é parte de um triângulo retângulo com comprimentos laterais a e h. Então tan(φ) = a/h na aresta do cone. Assim, o alcance é 0 ≤ φ ≤ tan−1 (a/h). O alcance em ρ depende de φ. Sabemos que 0 ≤ z ≤ h. E como z = ρcos(φ), podemos dizer que 0 ≤ ρ ≤ h/cos(φ) = hsec (φ). Então, todos juntos temos 0 ≤ φ ≤ tan−1 (a/h), 0 ≤ θ ≤ 2𝜋 e 0 ≤ ρ ≤ hsec(φ). Assim, teremos o volume:
Dessa maneira, teremos o volume do cone pelas três maneiras.
Mas preste atenção: como mencionamos no início, nem sempre utilizamos integração para calcular o volume desses sólidos simples. No entanto, a técnica de definir o espaço de integração E para esses sólidos é extremamente importante. Dedique-se a estudar bem essa base inicial para evitar dificuldades ao resolver questões mais complexas.
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