O estudo dos números primos é fundamental para o desenvolvimento da aritmética, eles são úteis para diversas ferramentas, algoritmos e resolver problemas dos mais simples aos mais complexos. E sua utilidade vai para além da matemática pura e hoje são amplamente usados para criptografia. Para dar o primeiro passo na jornada pelos números primos, vamos a nossa breve introdução a números primos.
Conceitos iniciais
Antes de conseguir, nessa introdução a números primos, identificar um, vamos revisar alguns conceitos que precisamos saber. Primeiro, em todo esse texto estaremos tratando de números naturais, portanto, quando nos referimos a um número sem especificar queremos dizer um número natural. Tudo que for abordado aqui pode ser estendido sem muitos esforços para os números inteiros, a opção pelos naturais foi por julgar que esses são números que estamos familiarizados desde muito cedo o que pode ajudar a enxergar melhor as definições e propriedades.
Dizemos que um número a divide b, e denotamos a | b, quando o resto da divisão de b por a é 0, em outras palavras, quando existe um outro número k tal que b=a*k.
Chamaremos os números que dividem b de divisores de b. Portanto, dizem que a divide b é o mesmo que dizer que a é um divisor de b.
Analogamente, se b deixa resto diferente de 0 na divisão por a então a não divide b ou não é um divisor de b. Em outras palavras, o Algoritmo de Euclides nos garante que essa definição é equivalente a dizer que não existe outro número natural tal que b=k*a.
Exemplos de divisores
Por exemplo, o número 3 divide o número 12, pois 12=4*3. Também o número 4 divide o número 12, pois 12=3*4. Portanto 3 e 4 são divisores do 12.
O conjunto de todos os divisores de 12 é formado pelos números: 1, 2, 3, 4, 6 e o próprio 12.
O número 2 divide o número 8, logo 2 é divisor do 8, por outro lado o número 8 não divide o número 2, logo 8 não é divisor do 2.
Para saber se um número é divisível por outro é bastante prático usar os critérios de divisibilidade. Veja por exemplo os critérios de divisibilidade por 7 e por 11.
O 1 divide todos os números naturais. Também, o próprio número sempre divide a si mesmo. Isso nos diz que, todo número maior que dois tem pelo menos 2 divisores.
Introdução a números primos.
Dizemos que um número é primo quando ele tem exatamente 2 divisores. A saber, o 1 e ele mesmo.
Uma importante observação é que o número 1 não é primo, pois ele têm apenas um divisor, que é o próprio 1.
O menor número primo é o 2, que é divisível apenas por 1 e por 2.
Todo número par maior que 2 não é primo, pois será divisível por 2, além do 1 ele mesmo.
Descobrir se um número é primo não é uma tarefa fácil e até hoje matemáticos quebram a cabeça para tentar formas otimizadas para fazer isso. Atualmente as melhores maneiras de fazer essa verificação ainda demandam computadores com uma capacidade enorme de processamento, e os cálculos levam dias, semanas, meses, …
Porém, quando estamos falando de números pequenos, como os números até 100 podemos aplicar algumas técnicas para saber quais são primos, como o Crivo de Eratóstenes que ensinaremos em um outro texto.
Para que não faltem exemplos segue a lista dos 5 primeiros números primos: 2, 3, 5, 7 e 11. Você consegue descobrir qual o próximo número primo?
Teorema Fundamental da Aritmética: Um passo além da introdução a números primos
Para encerrar essa introdução anunciaremos o principal resultado que temos nesse campo. Resultado que vai ser melhor explorado num próximo texto no site. Fique atento.
Esse resultado de certa maneira nos diz que os números primos são como células dos números naturais, isto é, a parte fundamental, indivisível e que forma os demais números.
O Teorema Fundamental da Aritmética diz que todo número natural pode ser decomposto unicamente como um produto de fatores primos.
Esse é um Teorema que merece um texto próprio, por isso me restringirei a tentar explicar o que ele quer dizer.
Primeiro, ele significa que de alguma maneira podemos apenas com os números primos formar todos os demais números, e ainda que de certa forma esses números primos que usamos são únicos –essa unicidade será explorada posteriormente–, o que nos dá uma espécie de identidade de cada número.
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