Juros Compostos: como calcular cap. exponencial

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Tudo que você precisa saber sobre o funcionamento do regime de juros compostos no mundo da matemática financeira.

Juros Compostos

Neste artigo, você entenderá o funcionamento dos juros compostos e aprenderá como utilizar as fórmulas matemáticas nos cálculos que envolvam esse regime de capitalização exponencial.

Caso você ainda não esteja familiarizado com os conceitos iniciais da disciplina de Matemática Financeira, recomendo a leitura prévia do conteúdo introdutório constante neste post AQUI!

Bem, então vamos lá! 😉

# INTRODUÇÃO:

Como regra geral, temos que o Montante (valor futuro) é o valor do Capital (principal) acrescido do Juros (remuneração) do período. Os juros, por sua vez, resultam da incidência da taxa e do regime de capitalização. Em outros termos, a forma de incidência da taxa e de capitalização afetarão diretamente o modo como se dá o crescimento dos juros e, consequentemente, a formação do montante.

Em síntese, existem dois regimes principais de cobrança de juros: simples e compostos.

Hoje, veremos apenas o REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA (também chamado somente de “JUROS COMPOSTOS”).

# O REGIME DE JUROS COMPOSTOS:

Diferente do que ocorre no regime de capitalização simples, a formação do montante em juros compostos é EXPONENCIAL, ou seja, os juros são capitalizados periodicamente, pois a taxa (i) incide sobre capital e sobre os juros do período anterior (“juros sobre juros”).

Como consequência desse modo de capitalização, devemos ter muito cuidado com a conversão de taxas, pois não podemos mais fazer uso de mera proporção, ao contrário do que vínhamos fazendo nas questões de juros simples (ainda veremos isso detalhadamente em posts futuros aqui no blog).

Para visualizar o comportamento desse regime de capitalização, iremos adotar o mesmo exemplo utilizado na post sobre juros simples. Então, supondo um empréstimo de R$ 1.000,00 a ser pago daqui a 05 meses, a uma taxa de juros compostos de 15% ao mês, teríamos o seguinte:

MÊS (n)TAXA (i)BASE DE CÁLCULOJUROS (J)
115%1000,000,15 x 1000 = R$ 150
215%1000 + 150 = R$ 1.150,000,15 x 1150 = R$ 172,50
315%1150 + 172,50 = R$ 1.322,500,15 x 1322,50 = R$ 198,37
415%1322,50 + 198,37 = R$ 1.520,870,15 x 1520,87 = R$ 228,13
515%1520,87 + 228,13 = R$ 1.749,000,15 x 1749,00 = R$ 262,35
TOTAL DE JUROS (J):R$ 1.011,35
CAPITAL (C):R$ 1.000,00
MONTANTE (M):R$ 2.011,35

Perceba que, assim como no juros simples, continua valendo a regra geral: o Montante (M) a ser pago corresponde ao Capital (C) inicialmente emprestado acrescido dos Juros (J) acumulados ao longo do tempo, ou seja, R$ 2.011,35 = R$ 1.000 + R$ 1.011,35.

Porém, o total de juros acumulados não resulta mais de uma simples multiplicação, pois os juros de cada período não são mais constantes.

Note que os juros de cada mês são cada vez maiores do que os juros do mês anterior, justamente porque a base de cálculo não é apenas o capital (como era no regime de juros simples), mas sim o capital acrescido do juros já acumulados até o momento.

Ou seja, a base de incidência da taxa de juros mensal aumenta gradativamente e, com isso, os juros são cada vez maiores, influenciando, por sua vez, as próximas bases de cálculo dos juros subsequentes, gerando, assim, uma evolução exponencial do montante.

# FÓRMULAS DE JUROS COMPOSTOS:

Bem, já aprendemos que, como regra geral, independente do regime de capitalização adotado, o montante (valor futuro) será igual ao capital (valor presente) acrescido ao juros (rendimento) do período:

MONTANTE = CAPITAL + JUROS

M = C + J

No regime de capitalização composta, como exemplificado no tópico anterior, o montante (M) pode ser calculado por meio da seguinte fórmula matemática:

MONTANTE = CAPITAL x (1 + TAXA DE JUROS)^PRAZO DA OPERAÇÃO

M = C x (1 + i)n

# EXERCÍCIO SOBRE JUROS COMPOSTOS:

Agora, vamos colocar em prática o que vimos até aqui, utilizando como base a seguinte questão:

José tem uma dívida a ser paga daqui a 06 meses por R$ 10.000,00. Porém, como recebeu um dinheiro inesperado, gostaria de quitar essa obrigação hoje, para evitar pagar tantos juros. Sabendo-se que a taxa embutida na operação é de 2% ao mês, sob regime de juros compostos, calcule o valor presente do empréstimo.

Ora, no caso apresentado temos todos os elementos da fórmula, com exceção do juros (J), que é exatamente o que precisamos encontrar. Vejamos:

  • J: juros, rendimento, remuneração = ? (a descobrir);
  • C: capital, valor da aplicação = R$ 7.000,00;
  • i: taxa de juros = 4% ao bimestre = 2% ao mês;
  • n: prazo da operação, duração da aplicação = 6 meses.

Então, jogando tudo na fórmula de capitalização composta, temos a seguinte resolução:

M = C x (1 + i)n

R$ 10.000,00 = C x (1 + 2% a.m.)6 meses

R$ 10.000,00 = C x 1,026

R$ 10.000,00 = C x 1,12616242

C = R$ 10.000,00 / 1,12616242

C = R$ 8.879,71

Portanto, descobrimos que o valor presente da dívida de José era de aproximadamente R$ 8.879,71.

# CONCLUSÃO:

O que achou? Tranquilo, né? 😉

Pode complicar um pouquinho quando precisamos encontrar a taxa de juros (i) ou se quisermos descobrir o prazo (n) da operação, pois acabaremos tendo que recorrer, respectivamente, à Bhaskara e noções de logaritmo. Mas isso fica para um post específico, ok?

Por fim, deixo aqui uma espécie de desafio para vocês refletirem antes de encerrarmos:

Considerando o crescimento exponencial no regime de capitalização composta e o crescimento linear no regime de juros simples, podemos concluir que, para um mesmo capital, aplicado a uma mesma taxa e mesmo prazo, o montante obtido a juros compostos sempre será maior que o montante obtido a juros simples?

E aí, o que acha? Tem certeza? Ficou na dúvida? Dê uma olhada neste post AQUI! 😉

Então, é isso! Chega por hoje, pessoal!

Para maiores esclarecimentos e aprofundamento na disciplina de Matemática Financeira, continuem me acompanhando aqui no blog da Meuguru!

Até o próximo post!

Prof. Rodrigo Xavier

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