Tudo sobre logaritmo. Parte 1 – Definições

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O objetivo deste texto é apresentar uma introdução ao conceito de logaritmo. Essa operação matemática se relaciona com a exponenciação. Também possui propriedades interessantes que podem ajudar na resolução de exercícios diversos.

Definição de logaritmo

Usaremos uma definição que apresenta o logaritmo como a função inversa da exponencial, no seguinte sentido.

Dados dois números reais, x e y, ambos maiores que zero. E com x≠1, então dizemos que:

logy = n , se e somente se, y = xⁿ.

Denotamos x como a base do logaritmo. Também, podemos chamar o y de logaritmando. Logo podemos escrever de forma literal da seguinte maneira: O logaritmo de y na base x é igual a n.

Observe que para definir a função logaritmo temos algumas condições, e a função só existirá se elas forem satisfeitas. As condições são que, tanto a base quanto o número que estamos avaliando o log tem que ser positivos, e além disso, o número da base deve ser diferente de 1.

Também, pela definição, podemos definir com palavras da seguinte maneira. O logaritmo de y na base x é igual a n se y for igual x elevado a n. E a recíproca também é verdadeira, isto é, se x elevado a n for igual a y, então o log de y na base x é igual a n.

Essa definição, dessa maneira, também já nos garante a unicidade de cada logaritmo, logo para cada base e logaritmando não terá dubiedades sobre seu valor. Isto não quer dizer que se mudarmos a base e o logaritmando não poderemos obter o mesmo valor. 

Veremos nos próximos textos sobre logs que se fixarmos uma base e irmos alterando apenas o logaritmando, obteremos sempre valores diferentes. Isto é, a função log, com a base fixa é injetiva.

Exemplos da definição.

Vamos conferir se as seguintes igualdades usando a definição de log são válidas.

Exemplo 1. log₆36=2.

Para verificar esse exemplo vamos utilizar a definição, e essa igualdade será verdadeira se 

36 = 6². O que de fato acontece. Portanto, a igualdade é válida.

Exemplo 2. log₂2=2.

Para verificar vamos utilizar, novamente, a definição. Essa igualdade será verdadeira se 2 = 2². O que não acontece, pois 2²=4≠2. Portanto, a igualdade não é válida.

Primeiros fatos

Agora, que já sabemos identificar um logaritmo, vamos aprender as primeiras propriedades que os logs nos dão, essas propriedades chamei de fatos, pois elas são ainda mais elementares das que veremos nos próximos textos.

Essas propriedades cumprirão funções tanto aritméticas, para nos ajudar a calcular o valor de um logaritmo, por exemplo, quanto funções mais qualitativas, que nos ajudarão a aprofundar nossa compreensão sobre o funcionamento dessa operação que acabamos de aprender.

1. O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero.

De fato, isso acontece pois qualquer número elevado a zero é igual a 1.

2. Se a base e o logaritmando forem iguais então o seu valor é igual a 1.

Isso ocorre pois qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo.

Essas duas propriedades são bem diretas, no próximo texto desta série sobre log aqui no blog exploraremos outras propriedades. Também, vamos aprender ao longo da série de textos técnicas para calcular logs diversos, veremos exercícios resolvidos de diversos níveis e até sobre funções logarítmicas e seu comportamento.

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