Minimal e maximal em relações de ordem

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O objetivo deste texto é apresentar ao leitor a ideia e conceito de elemento minimal e maximal numa relação de ordem. Para isso vamos revisar o que é uma relação de ordem e quando esses elementos existem.

Revisão sobre relações

Antes de entender o que é, vamos revisar o que é uma relação de ordem total é necessário que o leitor relembre o conceito de relação entre conjuntos.

S é um relação de um conjunto A para B se S⊂AxB, isto é uma relação entre dois conjuntos é um subconjunto do produto cartesiano entre eles.

Dizemos que S é uma relação em A, se S é uma relação de AxA.

Revisão sobre relação de ordem parcial

Ainda, dada uma relação S em A dizemos que ela é de ordem parcial se é reflexiva, antisimétrica e transitiva, isto é:

Dizemos que uma relação S em A é reflexiva quando para todo x que pertence A, então (x, x)∈S. Mais coloquialmente, todo elemento do conjunto se relaciona com ele mesmo.

Dizemos que S, relação em A, é antisimétrica quando para todos elementos x e y em A, se (x, y) pertence a S, e (y, x) pertecente a S, então x=y. Isto é, se dois elementos se relacionam de ambos lados eles só podem ser um elemento só.

Dizemos que uma relação S em A é transitiva quando para todos x, y e z que pertencem a A com (x, y) e (y, z) então (x, z).

Isto quer dizer que se x se relaciona com y, que se relaciona com z, então x se relaciona com z, o que de alguma forma diz que a relação se existe com um “intermediário”, esse intermediário não é necessário.

Maximal e Minimal.

Agora, que já lembramos o que é uma relação de ordem parcial podemos definir elementos maximais e minimais.

Seja x que pertence a A, e S uma relação de ordem parcial em A, x é maximal se não existir outro elemento y em A, diferente de x, tal que (x, y). 

Isto é um conceito muito parecido com ser máximo, a diferença reside que o elemento máximo precisa ser maior que todos os outros, em particular ele vai estar numa relação com todos os outros, enquanto o maximal basta que não exista outro maior que ele, então ele não precisa se relacionar com todos.

Analogamente, definimos x minimal, em S, se não existir y em A, diferente de x, tal que (y, x).

Veja acontece em muitas relações que o existem mais de um elemento maximal ou minimal, e em outras eles coincidem com o máximo ou mínimo. Você é capaz de dar exemplos de quanto isso acontece? Fica de olho no blog para ver mais texto com esses e outros exemplos desse assunto.

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