Números Inteiros

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Neste texto vamos falar sobre o conjunto numérico dos números inteiros. Vamos entender o que é esse conjunto e algumas de suas características. A abordagem aqui será em volta das propriedades mais elementares dos inteiros explicado de maneira ingênua sem as formalidades necessárias para um estudo mais sério.

Introdução

O leitor já deve estar habituado em pensar os números naturais como os números que usamos para contar quantidades fechadas: 1, 2, 3, e assim por diante.

Daí surgem os números inteiros pela necessidade de contabilizar quantidades de ganhos mas também de perdas. Neste sentido é como se começássemos a voltar na reta numérica, passando pelo 1 e chegando no 0 e continuássemos voltando agora para os números negativos, que serão entendidos como o oposto dos naturais.

Isto é, os números inteiros são os naturais mais o zero, que é o elemento neutro ou eixo de simetria, mais as versões negativas dos número naturais. Assim podemos representá-los da seguinte forma: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … 

Note que os inteiros podem crescer ou decrescer infinitamente, logo eles não possuem nem menor nem maior elemento.

Observações sobre os números inteiros

Representamos o conjunto por uma letra Z.. Ficando assim a representação: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

O conjunto dos inteiros é enumerável, isto é, de alguma forma pode “contar” eles. Mais especificamente podemos tomar uma bijeção entre os inteiros e os naturais basta levar o zero no zero, cada positivo em seu dobro e cada negativo k em -2k-1.

Dizemos que dois inteiros são simétricos, ou opostos, quando possuem apenas o sinal diferente, como o -3 e 3, ou o 1 e -1.

Outra definição para números opostos é: dois números são opostos se possuem o mesmo módulo. Entenderemos o que é o módulo a seguir.

O conjunto é um corpo ordenado, a definição para isso caso o leitor não conheça ficará para outro texto aqui do blog.

Subconjuntos de Z

Existem muitos subconjuntos notáveis de inteiros, como os números primos {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}, ou os números pares {…, -2, 0, 2, 4, 6, …} ou ímpares {…, -1, 1, 3, 5, …} e os inteiros inspiram toda uma área da matemática chamada Teoria dos Números.

Agora vamos ver algumas notações que são usadas para indicar subconjuntos bastante usados dos inteiros.

Z* = conjunto dos números inteiros não nulos = {…, -3, –2, -1, 1, 2, 3, …}

Z+ = conjunto dos números inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, …}

Z*+ = conjunto dos números inteiros positivos = {1, 2, 3, …}

Z- = conjunto dos números inteiros não positivos = {…, -3, -2, -1, 0}

Z*- = conjunto dos números inteiros negativos = {…, -3, -2, -1}

Operações com os números inteiros

A forma de operar com os inteiros é bastante semelhante a com os naturais, mas alguns comentários precisam ser feitos.

Primeiro, os inteiros são um conjunto fechado para adição, subtração e multiplicação. Isto quer dizer que a adição, subtração ou multiplicação de dois inteiros é igual a um inteiro.

Os inteiros não são fechados para divisão, isto é fácil de encontrarmos exemplos. O 1 e 2 são inteiros, mas 1 dividido por 2 não é inteiro, a saber 1/2 = 0,5.

As operações de adição e multiplicação possuem algumas propriedades, como existência de elemento neutro para cada uma, são comutativas e associativas, existe inverso na adição, existe a distributividade entre elas e a integridade da multiplicação.

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