O Paradoxo do Barbeiro

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Neste texto o leitor será apresentado ao Paradoxo do Barbeiro, ou como também é conhecido, Paradoxo de Russell. Esse paradoxo é importante para notar que na Teoria Ingênua dos Conjuntos apesar de ser pretender ser formal é possível criar contradições com suas definições sobre certas condições.

Apresentação

O matemático e filósofo britânico Bertrand Russell que propôs a contradição na Teoria Ingênua dos Conjuntos através da construção de um conjunto contraditório e que não poderia existir.

É através desse exemplo que é possível enxergar a necessidade de criação de uma nova série de regras, que chamamos de proposições e axiomas.

Os axiomas são proposições que pressupõem ser verdadeiras, seja para não criar contradições ao longo da teoria seja por “fazer sentido” com experimentos. E, por isso não tem a necessidade, ou não podem, ser demonstrados.

Em matemática atualmente as teorias são axiomáticas. Isto significa que são construídas inteiras em cima de alguns axiomas para darem suporte de onde se deduzem todos os outros resultados.

O Paradoxo do Barbeiro

Seja uma cidadezinha onde há apenas um barbeiro, e o barbeiro faz a barba de todos os homens que não fazem sua barba. Defina o seguinte conjunto:

O conjunto das pessoas que fazem a barba com o barbeiro.

Isto é um paradoxo. Pois, se o barbeiro não fizer sua própria barba então ele faz parte do conjunto, isto é, ele faz sua própria barba, o que é um contradição.

Reciprocamente, se o barbeiro fizer sua própria barba então ele faz parte do conjunto, ao mesmo tempo, como ele faz sua própria barba então ele não faz parte do conjunto.

Assim, de qualquer maneira teremos uma contradição.

Uma forma mais próxima da notação de teoria dos conjuntos, e menos coloquial, para esse conjunto é defini-lo da seguinte forma:

A = {B;  B ∉ A}

Assim, se A∈A então A∉A. E, se A∉A, então A∈A.

Caso o leitor esteja curioso ele pode conhecer um teoria axiomática de conjunto pode procurar por axiomas de Zermelo-Fraenkel.

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