O que é Máximo Divisor Comum e como calcular?

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O significado de MDC resume sua definição, isso quer dizer Máximo Divisor Comum.

Definição

Uma definição de Máximo Divisor Comum que pode ser dada é a seguinte:

Dados dois números naturais, a e b. O mdc entre a e b, denotado mdc(a, b) é igual ao maior número que divide simultaneamente a e b. Em outras palavras, é o maior divisor de a e b ao mesmo tempo.

O Máximo Divisor Comum pode ser definido entre quaisquer dois números naturais, pois o número 1 sempre divide todos os outros números.

Assim, dois números que possuem apenas o 1 como divisor em comum, e consequentemente seu mdc é igual a 1, são chamados primos entre si.

Entende-se portanto que o Máximo Divisor Comum de um número primo com um outro número que não é seu múltiplo é igual a 1.

Uma definição equivalente que pode ser útil é a seguinte:

Um número d=mdc(a, b), se satisfizer as duas seguintes condições:

i) d divide simultaneamente a e b.

ii) se existir um k que divide simultaneamente a e b, então k divide d.

Essa outra definição de alguma forma nos diz que todo divisor comum de a e b também é divisor do mdc deles.

Propriedades do Máximo Divisor Comum

Seguem algumas propriedades que podem ser úteis ao lidar com MDC, cujas facilitarão a sua jornada no meio matemático. Afinal, tenho certeza de que após esse post você será um “Ás da matemática!”

1- mdc(a, b) = mdc(b, a)

2- Dois números consecutivos são sempre primos entre si.

3- Se um a divide b, então mdc(a, b)=a

4- Se b deixa resto r na divisão por a, então mdc(b, a) = mdc(a, r)

Essa última propriedade é um spoiler do que chamaremos de Algoritmo de Euclides, e será ensinado em um próximo texto aqui no blog.

Como calcular o MDC

Algumas formas de encontrarmos o Máximo Divisor Comum entre dois números, vamos listar algumas delas:

1. Listar todos os divisores dos dois números, assim, o MDC será o maior que eles tiverem em comum.

2. Fatorar em fatores primos os dois números simultaneamente, e destacar os fatores em comum. Portanto, o Máximo Divisor Comum será a multiplicação de todos os fatores destacados. Caso não ache nenhum fator primo em comum, o Máximo Divisor Comum será igual a 1.

3. Escrito os dois números da forma fatorada em primos, o MDC será a multiplicação dos fatores em comum com o menor expoente, contudo, caso não haja fatores em comum o MDC será igual a 1.

Exemplos do Máximo Divisor Comum

Agora, vamos calcular usando cada um das formas descritas o MDC entre dois números a partir das informações, pois queremos que você pratique lendo e leia praticando!

Exemplo 1. O MDC entre os números 7 e 1.

O número 7 é primo, portanto só tem como divisores o 1 e o 7. O número 9 tem como divisores o 1, 3 e 9.

O maior em comum é o 1. Portanto, mdc(7, 9) = 1.

Exemplo 2. O MDC entre 12 e 40.

O que é Máximo Divisor Comum e como calcular?

Logo mdc(12, 40) = 2 * 2 = 4

Exemplo 3. O MDC entre 2³ 3² 5 e 2² 5²

O Máximo Divisor Comum é 2² 5 = 4 * 5 = 20.

Com efeito, tenho certeza de que agora você está pronto para tentar encontrar o mdc entre quaisquer dois números. Num próximo texto aprenderemos uma ferramenta muito poderosa que vai te ajudar nesse trabalho, o Algoritmo de Euclides.

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