O que é Produto Cartesiano?

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Neste texto o leitor vai aprender o que é produto cartesiano ,como funciona os pares ordenados, e outras noções interessantes de conjuntos. Também, vai ver exemplos de como o produto cartesiano se mostra em várias áreas da matemática, em especial às relacionadas a funções e conjuntos.

O par ordenado

Dizemos que um elemento (x, y) é um par ordenado, isto porque possui dois elementos e a ordem da representação desses elementos é importante. Portanto, nesse caso (x, y) é um elemento diferente de (y, x), por exemplo.

Ainda podemos fazer o seguinte a = (x, y), e nesse caso, x é a primeira coordenada do elemento a e y é a segunda coordenada do elemento a.

Dessa forma, (x, y) é igual a (m, n) se, e só se, x=m e y=n.

Veja que o par ordenado não é simplesmente um conjunto com aqueles dois elementos. Pois, veja que o conjunto {x, y} é igual ao conjunto {y, x}, e o conjunto {x, x} é na verdade o conjunto {x}, coisas que não ocorrem no caso de pares ordenados.

O que é Produto Cartesiano?

Da noção de pares ordenados vamos definir um produto cartesiano, que é um produto entre dois conjuntos, que podem ser distintos ou não.

Dados dois conjuntos X e Y, o produto cartesiano, denotado XxY, é igual ao conjunto de todos os pares ordenados (x, y) tais que x pertencente a X e y pertence a Y. 

Portanto, XxY = {(x, y); x∈X e y∈Y}.

O produto cartesiano não é comutativo, então, em geral, XxY é diferente de YxX.

Veja, se X = {x1, x2, …, xn} e Y = {y1, y2, …, ym}, isto é, X possui n elementos e Y possui m elementos, então XxY possui n·m elementos.

Os conjuntos em que fazemos produto cartesiano não precisam ser finitos. Por exemplo, o Plano Cartesiano pode ser interpretado como o produto cartesiano do conjunto R dos números reais por ele mesmo, RxR=R².

Exemplos.

Vamos ver alguns exemplos a seguir.

Primeiro, o caso de conjuntos finitos. Por exemplo, se X={1, 2, 3} e Y = {4, 5} então XxY = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}. E, YxX = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}.

Seja X = {a, 1, %}, então XxX = {(a, a), (a, 1), (a, %), (1, a), (1, 1), (1, %), (%, a), (5, 1), (%, %)}.

Ainda, seja [a, b] e [c, d] intervalos em R, então [a, b]x[c, d] podem ser vistos como um retângulo no plano cartesiano R².

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