Oscilações amortecidas no MHS

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Fala gurunauta, nesse artigo vamos falar sobre as oscilações amortecidas no MHS. Decerto, as oscilações são um tema muito importante dentro da Física 2. De fato, já desenvolvemos um pouco sobre o MHS e sobre as oscilações forçadas.Tendo isso em vista, vamos agora nos adentrar nas oscilações amortecidas, as quais constituem um tipo importante de oscilações na física.

O que são as oscilações amortecidas

Em suma, as oscilações amortecidas são um tipo específico de oscilações, as quais ocorrem quando há a presença de um agente dissipativo no sistema. Esse agente haje com intuito de dificultar o movimento, por exemplo, o atrito das superfícies, ou mesmo a viscosidade do meio.

Nesse sentido, podemos partir da segunda lei de Newton e escrever uma expressão para esse tipo de movimento. Para isso, consideraremos um tipo de dissipação originado por uma força F = -cx’, isto é, proporcional a velocidade do corpo. Então, com isso teremos a seguinte variação do MHS:

Expressão 1. Fórmula da segunda lei de Newton para o movimento harmônico.

Dividindo tudo por m teremos que

equação para as oscilações amortecidas.
Expressão 2. Equação do movimento harmônico amortecido.

onde, gamma é o parâmetro que denota a intensidade do amortecimento e omega0 é a frequência de oscilação natural assim como o visto nas oscilações forçadas.

Oscilações amortecidas: equação de movimento

Agora, veja que a determinação da posição x(t) para a Expressão 2 fica a depender dos valores das contantes gamma e omega0. Em particular, usando o método visto para equações diferenciais de segunda ordem podemos obter o seguinte

Expressão 3. Equação característica para o movimento harmônico amortecido.

onde lambda é o valor característico para as soluções do tipo eλt que estamos procurando. Assim, usando o método de bhaskara obtemos que as soluções para lambda são tais que

Expressão 4. Solução da equação característica para o movimento harmônico amortecido.

Em suma, nesse caso não podemos obter uma expressão fechada para as oscilações amortecidas. Em verdade, aqui ficamos a depender dos valores de gamma e omega0. No entanto, podemos analisar alguns casos possíveis para os valores de lambda e assim termos três soluções possíveis para esse tipo de solução, as quais são os amortecimentos subcrítico, supercrítico e crítico.

Amortecimento subcrítico

Nesse caso, temos um amortecimento que ocorre ainda com a presença do movimento periódico. Em suma ele acontece quando temos a seguinte condição

Expressão 5. Condição para o amortecimento subcrítico.

Nesse caso, a solução do sistema amortecido fica dada por

Expressão 6. Solução para o amortecimento subcrítico.

Note que o perfil do movimento oscilatório é mantido pelas funções seno e cosseno. Por outro lado, a exponencial negativa age de modo a fazer com essa oscilação decaia e termine. De fato, o gráfico para essa solução pode ser visto na Figura 1.

Figura 1. Movimento harmônico amortecido no caso subcrítico.

As curvas psi de vermelho tracejado são chamadas de envoltórias do movimento.

Amortecimento supercrítico

Por outro lado, quando temos a seguinte condição

Expressão 7. Condição para o amortecimento supercrítico.

o amortecimento é dito supercrítico. Aqui a solução da equação de movimento é a seguinte

Expressão 8. Solução para o amortecimento supercrítico.

cujo gráfico perde o caráter oscilatório e o sistema tende apenas a diminuir de forma suave, conforme Figura 2.

Figura 2. Gráfico do movimento de um oscilador amortecido supercrítico.

Amortecimento crítico

Por fim, quando temos a condição

Expressão 9. Condição para o amortecimento crítico.

Nesse caso, o movimento crítico perde o total comportamento oscilatório. Além disso, o sistema tende rapidamente a parar sua dinâmica. De fato suas soluções são:

Expressão 10. Solução para o amortecimento crítico.

O gráfico correspondente se assemelha ao amortecimento subcrítico, todavia, a curva cai mais rapidamente para zero, veja a Figura 2.

Figura 2. Gráfico do movimento de um oscilador amortecido crítico.

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