Permutação: Análise Combinatória

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Esse texto pode ser visto como uma continuação da introdução ao estudo de análise combinatória e vai ser apresentado o conceito de permutação. O leitor vai através de exemplos e propostas de exercícios aprender sobre as técnicas para resolver problemas que envolvem esse conceito. Aqui no blog o leitor pode encontrar uma série de textos sobre análise combinatória que podem o guiar nesse estudo.

Preliminares

Antes de desenvolver o problema que conceitua permutação e que é motivado pelo estudo da análise combinatória é importante que o leitor esteja familiarizado com o princípio multiplicativo que pode ser visto no seguinte texto:

Como aprender análise combinatória do zero

Também é importante que já saiba operar com números fatoriais, vamos fazer uma breve retomada dessa operação, mas caso o leitor queira uma exposição mais completa, ela é possível através do seguinte texto aqui do blog:

Fatorial (!) : Aprenda tudo sobre.

Definição. Denotamos o fatorial de um número n, natural, como n!, e definimos da seguinte forma: n! = 1·2·3·…·n.

Ainda, por convenção 0!=1 e 1!=1

Veja o fatorial de alguns números:

2! = 2·1 = 2

5! = 5·4·3·2·1 = 120

6! = 6·5·4·3·2·1 = 720.

Agora, vamos resolver alguns outros exemplos:

Exemplo 1. Simplifique n!·(n+1).

Para resolver esse exemplo basta observar que n! = n·…·3·2·1, logo: n!·(n+1) = (n+1)·n·…·3·2·1 = (n+1)!.]

Exemplo 2. Calcule 100!/98!.

Descobrir esse número manualmente calculando os fatoriais demoraria horas e até dias, mesmo computacionalmente exigiria mais que um programa comum poderia fazer, portanto é preciso procurar outro método que nos permita simplificar as contas.

Observe que 100! = 100·99·98·97·…·2·1 = 100·99·98!. Assim: 100!/98! = (100·99·98!)/98! = 100·99 = 9900.

Agora estamos prontos para o objetivo principal do texto.

Permutação

A ideia que motiva a introdução do conceito de permutação é pensar de quantas formas podemos arrumar n objetos em uma fileira. Assim, toda vez que fomos resolver um problema que possa ser visto como uma arrumação em fila de n objetivos chamaremos de permutação.

Vamos começar a calcular uma permutação através do seguinte exemplo.

Exemplo 3. De quantas maneiras podemos colocar garfo, faca e colher em fila?

Perceba que para primeira posição temos 3 possibilidades, pois pode ser qualquer um dos três talheres, para a segunda sobrarão 2 possibilidades,  pois sobraram dois talheres para serem escolhidos após já ter escolhido para primeira opção, e na terceira posição sobrará apenas 1 possibilidade, o talher que sobrou.

Pelo princípio multiplicativo temos 3·2·1=3! maneiras.

Exemplo 4. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, e 4?

A ideia desse exemplo é análoga à do anterior, pois formar um número de quatro algarismos com quatro algarismos disponíveis é o mesmo que colocá-los em fila. Usando um pensamento totalmente análogo encontramos que isso formará 4! números.

Analogamente, para enfileirar n objetos diferentes podemos provar que isso pode ser feito de n·(n-1)·…·2·1 maneiras diferentes, ou seja n! maneiras diferentes.

Aqui reside o principal desse conceito, pois ele é a generalização de vários problemas em um só e que já sabemos resolver.

Problema de permutação

Agora é sua vez, tente resolver o problema a seguir com a técnica que acabamos de aprender.

Problema. Chamaremos qualquer disposição de letras em ordem de anagrama, por exemplo ACB é um anagrama formado pelas letras A, B, C. Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra LUA? E quantos com a palavra VAZIO?

Próximos passos

E se ao formar anagramas tivermos duas letras iguais? Isso é equivalente a ter dois objetos iguais para serem enfileirados entre os n. Para esses problemas o uso simples do n! não funcionará pois podemos trocar a posição desses dois objetos e teremos a mesma disposição.

No próximo texto desta série sobre análise combinatória aprenderemos a resolver os problemas desse tipo.

Resposta do problema: 3! e 5!

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