Propriedades da Sequência de Fibonacci: Parte 1

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Uma das mais famosas – talvez a mais famosa – entre as sequências é a Sequência de Fibonacci. Essa sequência descrita pelo matemático que dá nome a ela ao observar a reprodução de coelhos está presente em muitos outros exemplos encontrados na matemática e observações da natureza. O passo natural após entender como ela é construída é buscar conhecer algumas regras que a envolve. Neste texto vamos ver algumas propriedades da Sequência de Fibonacci.

Breve revisão

Em um texto anterior aqui no blog aprendemos a motivação e como essa sequência foi descrita pelo matemático Fibonacci.

Caso você queira uma introdução mais completa confira o texto:

A Sequência de Fibonacci: Introdução

Agora, faremos uma breve revisão de como definimos essa sequência.

Primeiro, chamaremos os número ordenados dessa sequência de fₓ onde x é um número natural que representa a posição do número na sequência.

Definimos então que f₁ = f₂ =1, e recursivamente os próximos termos da sequência da seguinte forma: fₓ = fₓ₋₁+ fₓ₋₂.

Em palavras, os dois primeiros termos da sequência números 1 e os demais são a soma dos dois anteriores.

Assim, seguindo essa definição, vamos escrever os primeiros 10 termos dessa sequência:

f₁ = 1

f₂ = 1

f₃ = 1 + 1 = 2

f₄ = 2 + 1 = 3

f₅ = 3 + 2 = 5

f₆ = 5 +3 = 8

f₇ = 8 + 5 =13

f₈ = 13 + 8 = 21

f₉ = 21 + 13 = 34

f₁₀ = 34 +21 = 55

Propriedades da Sequência de Fibonacci

A partir daqui veremos uma lista de propriedades da Sequência de Fibonacci, para algumas daremos um rascunho de sua demonstração, para outras faremos apenas alguns comentários para guiar o leitor para que ele tente demonstrar, e outras terão apenas algumas observações.

1. Soma dos x primeiro termos:

f₁ + f₂ + … + fₓ₋₁ + fₓ = fₓ₊₂ – 1

Essa propriedade diz que a soma dos x primeiros termos das sequência fibonacci é igual ao termos na posição x+2 subtraído de 1. 

Ela pode ser bastante útil pois nos permite saber o valor da soma sem precisar de fato efetuá-la.

A demonstração dela é bastante simples, basta escrever os termos da sequência da seguinte forma:

f₁ = f₃ – f₂

f₂ = f₄ – f₃

f₃ = f₅ – f₄

fₓ₋₁ = fₓ₊₁ – fₓ

fₓ = fₓ₊₂ – fₓ₊₁

Somando todas as igualdades, no lado direito vamos eliminar todos os termos de f₃ até fₓ₊₁, ficando com:

f₁ + f₂ + … + fₓ₋₁ + fₓ = fₓ₊₂ – f₂

Substituído f₂ = 1 chegamos na igualdade que queremos.

2. Soma dos x primeiros termos das posições ímpares:

f₁ + f₃ + … + f₂₍ₓ₋₁₎₋₁ + f₂ₓ₋₁ = f₂ₓ

De maneira análoga ao que fizemos para mostrar a primeira propriedades, basta escrever os termos da sequência da seguinte forma:

f₁ = f₂

f₃ = f₄ – f₂

f₅ = f₆ – f₄

f₂ₓ₋₁ = f₂ₓ – f₂₍ₓ₋₁₎

Somando todas as igualdades e fazendo as eliminações necessárias chegamos a expressão que queremos.

f₁ + f₃ + … +f₂₍ₓ₋₁₎₋₁ + f₂ₓ₋₁ = f₂ₓ

3. Soma dos x primeiros termos das posições pares:

f₂ + f₄ + … + f₂₍ₓ₋₁₎ + f₂ₓ = f₂ₓ₊₁ – 1

Para mostrar essa propriedade basta notar que a soma dos x primeiros termos das posições ímpares mais a soma dos x primeiros termos das posições pares é igual a soma dos 2x primeiros termos. Utilizando as as propriedades essa vai sair diretamente.

f₁ + f₂ + f₃ + f₄ + … + f₂₍ₓ₋₁₎₋₁ + f₂₍ₓ₋₁₎ + f₂ₓ₋₁ + f₂ₓ = f₂ₓ₊₂ – 1  , pela propriedade 1.

Daí, pela propriedade 2:

f₂ₓ + f₂ + f₄ + … + f₂₍ₓ₋₁₎ + f₂ₓ = f₂ₓ₊₂ – 1

f₂ + f₄ + … + f₂₍ₓ₋₁₎ + f₂ₓ = f₂ₓ₊₂ – f₂ₓ – 1

f₂ + f₄ + … + f₂₍ₓ₋₁₎ + f₂ₓ = f₂ₓ₊₁ – 1

Como queríamos demonstrar.

Mais propriedades da Sequência de Fibonacci.

Continue acompanhando o blog para conferir a parte 2 desse texto que trará mais várias propriedades interessantes dessa sequência. Também teremos um texto pra falar só da fórmula fechada para encontrar todos os termos.

Veja os textos já disponíveis dessa série:

A Sequência de Fibonacci: Introdução

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