Quadrados perfeitos

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O objetivo deste texto é apresentar os números que chamamos de quadrados perfeitos e algumas propriedades que podem nos ajudar a identificar esses números ou para conhecermos eles melhor.

Apresentação

Definição. Um número natural n é chamado de quadrado perfeito se existe k, também natural, tal que k² = n.

Essa definição nos diz exatamente o que esperamos pelo nome dado a esse tipo de número, isto é, um número é um quadrado perfeito se ele for o quadrado de outro número natural.

Por exemplo, o 1 é quadrado perfeito, pois 1² = 1. Outro exemplo é o 4, pois 2² = 4. Vamos listar os dez primeiros quadrados perfeitos: 1, 4, 9, 16, 25 ,36, 49, 64, 81 e 100.

O leitor pode se perguntar se essa noção que estamos estudando pode ser estendida aos inteiros, a resposta fácil é dizer que sim, mas não mudaria em nada ao fazermos com os naturais, pois não há nenhum quadrado perfeito negativo. A única mudança talvez fosse acrescentar o 0 a lista de quadrados perfeitos.

De fato não há quadrados perfeitos negativos pois para todo inteiro k não nulo, k² > 0. 

Uma outra observação que o leitor pode fazer é que os quadrados perfeitos são justamente os que possuem raiz quadrada igual a um natural. 

Outra coisa é que se um número natural não é quadrado perfeito então a sua raiz quadrada é um número irracional, e assim conseguimos uma infinidade de exemplos de números irracionais. Demonstrar isso pode não ser fácil com as ferramentas que vimos até agora.

Resultados dos quadrados perfeitos 

Agora vamos ver alguns resultados que envolvem esses números. As demonstrações delas não serão feitas nesse texto, mas faremos comentários sobre quais os assuntos usados nas demonstrações e algumas dicas para que fiquem a cargo do leitor.

1. A soma dos n primeiros números ímpares é igual ao n-ésimo quadrado perfeito.

Essa propriedade mais aritmeticamente pode ser escrita como:

1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n²

Para demonstrar essa propriedade o leitor basta utilizar a caracterização dos números ímpares como visto no texto sobre paridade aqui no blog e utilizar o princípio da indução finita, que será tema de um próximo texto no blog. 

2. Um quadrado perfeito par é sempre divisível por 4.

Veja, por exemplo, os quadrados perfeitos pares da nossa lista: 4, 16, 36, 64, 100. Todos são divisíveis por 4.

Para essa demonstração o Teorema Fundamental da Aritmética é de bastante ajuda e aplicá-lo faz todo o trabalho pesado.

3. Nenhum quadrado perfeito é terminado em 2, 3, 7 e 8.

Primeiro é importante o leitor tentar se convencer que isso é verdade. Na lista dos dez primeiros quadrados perfeitos temos números terminados em 0, 1, 4, 5, 6,  9, o leitor pode continuar essa lista para os vinte ou trinta primeiros e os números 2, 3, 7 e 8 não aparecerão no algarismo das unidades.

Para demonstrar basta analisar os possíveis restos que quadrados deixam na divisão por 10 e uma boa ferramenta para trabalhar com resto é aritmética modular.

4. A raiz de um quadrado perfeito ímpar é ímpar e de um par é par.

Essa propriedade poderia ser vista como uma simples observação, para o leitor mostrar isso basta escrever o quadrado perfeito como um quadrado de um número natural e usar a ideia de paridade.

Desafio

(Desafio) Um quadrado perfeito ímpar dividido por 8 deixa o resto 1.

Demonstrar esse último resultado ficará como desafio para o leitor. Tente usar o que aprendeu com as ideias para demonstrar as outras.

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