Quantidade de divisores de um número: como calcular

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Neste texto vamos aprender como calcular a quantidade de divisores de um número natural sem precisar explicitar quais são esses divisores.

Aprenda através de um passo a passo, vamos ver exemplos e justificar o porquê das operações que usaremos estarem corretas.

Como calcular a quantidade de divisores de um número

Primeiro, vejamos o passo a passo para um número n.

1º Passo: Escreva o número fatorado em números primos da seguinte forma:

n = p₁ⁿ¹·p₂ⁿ²·…·pₓⁿx

Onde p₁, p₂, …, pₓ são primos distintos dois a dois, e n1, n2, …, nx são números naturais.

2º Passo: Some um a cada um dos expoentes dos primos que aparecem na fatoração. No caso, faremos, n1+1, n2+1, …, nx+1.

3º Passo: Multiplique todos os números obtidos. Isto é façamos a seguinte conta:

(n1+1)·(n2+1)·…·(nx+1)

O resultado dessa multiplicação é justamente a quantidade de divisores do número n.

Vejamos agora a aplicação desse passo a passo num exemplo. Tomando o número 60.

O número 60 na forma fatorada é escrito como: 60 = 2² · 3 · 5

Portanto, o número 60 possui (2+1) · (1+1) · (1+1) = 3·2·2 = 12 divisores naturais.

Vejamos outro exemplo. Um número primo fatorado é igual a apenas ele mesmo. Logo sendo p primo sua forma fatorada é apenas: p = p¹.

Portanto um primo possui apenas (1+1) = 2 divisores. Veja que esse exemplo ajuda a testar a consistência do nosso método.

Demonstração.

Agora iremos demonstrar através de um argumento combinatório que estamos corretos nesse cálculo.

Primeiro é importante observar que todo número natural pode ser decomposto em primos como queremos, isto é garantido pelo Teorema Fundamental da Aritmética, e mostra que nosso método é consistente e pode ser aplicado para todo número natural.

Caso você não conheça o Teorema Fundamental da Aritmética veja o seguinte texto: Teorema Fundamental da Aritmética.

Uma vez decomposto, qualquer divisor desse número em sua decomposição só pode ter fatores primos que também apareçam no número.

Portanto, para formar cada divisor temos para cada fator primo da decomposição do número escolher um expoente menor ou igual ao da decomposição incluindo o 0. Quanto o primo da decomposição tiver expoente 0 é o mesmo que dizer que ele não está na decomposição do divisor.

Assim, seja n = p₁ⁿ¹·p₂ⁿ²·…·pₓⁿx, para p₁ temos como escolher 0, 1, 2, …, n1, isto é n1+1 opções, para p₂ temos como escolher 0, 1, 2, …, n2, isto é n2+1 opções, e assim por diante.

Logo para forma um divisor desse número temos, pelo princípio multiplicativo (n1+1)·(n2+1)·…·(nx+1) maneiras. Como todos os divisores podem ser formados dessa forma, então existem (n1+1)·(n2+1)·…·(nx+1) divisores.

Desafio

Agora que você entendeu o raciocínio por trás do método e já sabe como calcular a quantidade de divisores de um número, tente resolver o seguinte desafio e depois leia sua resposta.

Desafio. Quantos divisores múltiplos de 3 possui o número 35280?

Resposta.

Primeiro, vamos fatorar o número em primos, obtendo a seguinte fatoração:

35280 = 2⁴·3²·5·7²

Observe que, todo divisor de 35280 vai possuir os mesmos primos na fatoração com algum expoente menor ou igual ao expoentes na fatoração do 35280 e incluindo o 0, caso o primo não divida o divisor.

Mas, queremos apenas os divisores divisíveis por 3, portanto os divisores que queremos formar possuem expoente pelo menos 1 na divisão por 3.

Assim, queremos formar números da forma 2ⁿ¹·3ⁿ²·5ⁿ³·7ⁿ⁴, onde n1 pode ir de 0 á 4, isto é, temos 5 possibilidades, n2 pode ir de 1 até 2, isto é 2 possibilidades, n3 2 possibilidades e n4 3 possibilidades.

Portanto, pelo princípio multiplicativo o número 35280 possui 5·2·2·3 = 60 divisores múltiplos de 3.

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