Neste texto o leitor será apresentado ao conceito de relação de ordem total, para entender o que é essa ideia dentro do estudo das relações. Para isso, verá que é preciso que a relação cumpra algumas propriedades que serão apresentadas.
Revisão sobre relações entre conjuntos.
Antes de entender o que é uma relação de ordem total é necessário que o leitor relembre o conceito de relação entre conjuntos.
S é um relação de um conjunto A para B se S⊂AxB, isto é uma relação entre dois conjuntos é um subconjunto do produto cartesiano entre eles.
Assim, o conjunto vazio é relação entre quaisquer dois conjuntos e um produto cartesiano é uma relação entre dois conjuntos.
Caso o leitor queria saber mais sobre relações ele pode conferir o seguinte texto aqui do blog:
Relação entre conjuntos.
Um comentário importante para o tipo de relação que vamos definir é que dizemos que S é uma seleção em A se for uma relação de AxA.
Relação de Ordem Total
Dada uma relação S em A, dizemos que ela é de ordem total se for reflexiva, antissimétrica, transitiva e tiver dicotomia(ou totalidade). Isto também pode ser dito que é uma ordem total se for parcial e tiver totalidade.
Vamos entender o que isso significa.
A partir daqui só nos interessam as relações de AxB quando A=B, isto é, as relações sobre um mesmo conjunto.
Dizemos que uma relação S em A é irreflexiva quando para todo x que pertence A, então (x, x)∈S. Mais coloquialmente, todo elemento do conjunto se relaciona com ele mesmo.
Dizemos que uma relação S em A é transitiva quando para todos x, y e z que pertencem a A com (x, y) e (y, z) então (x, z). Isto quer dizer que se x se relaciona com y, que se relaciona com z, então x se relaciona com z, o que de alguma forma diz que a relação se existe com um “intermediário”, esse intermediário não é necessário.
Dizemos que uma relação S em A tem totalidade, se para todos x e y que pertencem a A, então (x, y)∈S ou (y, x)∈S. Isto diz que quaisquer dois elementos estão relacionados
Finalmente, agora entendemos o que é uma relação de ordem total. É uma relação sobre um conjunto que cumpre as três condições acima.
