Neste texto o leitor será apresentado ao conceito de relação entre conjuntos e algumas consequências desse conceito nos estudos dos conjuntos.
Definição de relação entre conjuntos.
Dados dois conjuntos A e B uma relação S entre A e B é qualquer subconjunto de AxB, isto é, S é uma relação de A e B se S⊂AxB.
Caso o leitor não esteja acostumado com essa notação, AxB é o produto cartesiano entre os conjuntos A e B, e pode ser definido da seguinte forma: AxB = {(x, y); x∈A e y∈B}.
Caso queira saber mais veja o seguinte texto:
Ainda, essa definição de cara nos diz que AxB é uma relação entre A e B e o conjunto vazio é relação entre quaisquer dois conjuntos.
Dizemos ainda que, numa relação S⊂AxB, A é o conjunto de partida e B é o conjunto de chegada.
Também, dizemos que se S é uma relação de AxA então S é relação de A.
Relação Composta
Podemos compor relações da seguinte maneira:
Seja S uma relação de A para B. E, R uma relação de B para C, então R•S é uma relação de A para C definida da seguinte forma:
R•S = {(x, z)∈AxC; ∃y∈B com (x, y)∈S e (x, y)∈R}.
Relação Inversa
Também podemos definir para cada relação uma inversa da seguinte forma.
Seja S uma relação de A para B, então, a inversa de S é denominada S⁻¹ e é uma relação de B para A definida como:
S⁻¹ = {(x, y)∈BxA; (y, x)∈S}
Ainda sobre a relação inversa e a composição podemos ter a seguinte propriedade, que caracteriza a inversa de uma relação, logo pode ser substituída pela definição:
Dada uma relação S de A para B, então S⁻¹ é a inversa de S se, e só se, S•S⁻¹ = S⁻¹•S = Id.
