Sequências numéricas : o que são?

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Nesse artigo, vamos falar sobre sequências numéricas. Em particular, vamos entender o que são as sequências numéricas de números reais.

Por que estudar sequências numéricas

Primeiramente, é importante que você saiba que esse assunto é muito importante. De fato, ele recorrente em disciplinas de cálculo e em análise matemática. Nesse sentido, conhecer os fundamentos sobre sequências torna-se essencialmente relevante. Além disso, tendo em mãos o arcabouço teórico sobre sequências é possível estabelecer um critério para continuidade de funções.

Sequências numéricas: o que são

Tendo isso em vista, vamos começar entender sequências a partir de sua definição. Todavia, definir sequências é algo essencialmente simples, pois, na verdade, elas são apenas um tipo específico de funções. De posse disso, vamos a seguinte definição.

Definição de sequências numéricas reais.
Definição 1. Definição de sequências reais.

Com isso em mãos, torna-se possível entender melhor esse assunto. Em particular, podemos até mesmo já exibir alguns exemplos, com efeito.

  • xn =1/n
  • xn = n. Sequência identidade,
  • xn=cos(nπ)

Em muitas situações, nosso interesse será entender como essas sequências se comportam para quando n torna-se suficientemente grande, mas isso exploraremos na seção seguinte.

O limite de sequências

Com efeito, vamos agora falar um pouco sobre limites. Decerto, você já deve ter visto e/ou calculado limite de funções, com isso em mente, saiba que para sequências a situação é bem mais simples. De fato, aqui você não terá a preocupação de várias possibilidades de onde o limite irá ir, em suma, no contexto de sequências sempre estaremos interessados no caso em que n tende ao infinito. Portanto, nosso objetivo sempre será avaliar o seguinte.

Expressão 1. Limite de uma sequência.

Ademais, sabemos que já do estudo de funções que nem sempre um limite existe. Por conseguinte, em sequências essa situação não será diferente, porém, aqui separamos isso em dois casos:

  • Se o limite da Expressão 1 existe e é finito, então dizemos que a sequência xn é convergente.
  • Se o limite da Expressão 1 não existe ou é infinito, então dizemos que a sequência xn é divergente..

Para o primeiro caso, é importante enunciarmos até mesmo a definição formal de uma sequência convergente. Com efeito, vamos a ela

Definição 2. Definição de sequência convergente.

Em suma, essa definição diz que a partir de um número n0 os termos da sequência xn tendem a ficar suficientemente próximos do número x que é o limite da sequência.

Exemplo de uma sequência

Consideremos a sequência 1/n. Então, temos que os termos gerados são

Por exemplo, para a sequência 1/n temos

Agora, veja que se plotarmos o gráfico da sequência teremos o seguinte

Figura 1. Gráfico da sequência xn, plotado para n de 1 até 30.

Com isso, o gráfico da Figura 1 realmente nos dá o indicativo visual do que a definição formal de limite convergente afirma. Os pontos vermelhos na Figura 1, tendem a aproximar-se e ainda aproximar-se de zero que é o imite da sequência estudada.

E com isso gurunauta, chegamos ao fim de mais um artigo. Lembre-se aluno, ainda tendo problemas na vida universitária? contate a MeuGuru que vamos te ajudar.

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