Triângulo Retângulo

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Como veremos em outros textos aqui no blog, os triângulos são classificados comumente em relação aos lados ou em relação aos ângulos. A classificação de um triângulo como triângulo retângulo diz respeito aos ângulos dele.

O objetivo deste texto é fazer um apanhado geral sobre esse tipo especial de triângulo.

Definição de triângulo retângulo

Vamos começar lembrando o que é um triângulo retângulo. Veja a seguinte definição.

Definição. Um triângulo é dito retângulo se um de seus ângulos for reto, isto é, ter a medida de 90°.

Neste caso, chamamos o lado oposto ao ângulo de 90° de hipotenusa, e os outros dois lados de catetos.

Como a soma das medidas dos ângulos de um triângulo é igual a 180°, é útil observar que os ângulos não retos do triângulo retângulo são complementares, isto é, a soma de suas medidas é igual a 90°.

Caracterização e Teorema de Pitágoras

É verdade que podemos caracterizar um triângulo retângulo não só através da medida dos ângulo, mas também por uma relação entre seus lados.

Essa caracterização é muito útil pois nos permite saber algo sobre os lados dos triângulos retângulos ou, através do conhecimento de seus lados descobrir se um triângulo é ou não retângulo.

Esse resultado é conhecido como Teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras. Um triângulo é retângulo se, e só se, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Você pode conferir em outro texto aqui no blog a utilização desse Teorema para verificar se alguns triângulos são retângulos: Atividade Diferente com o Teorema de Pitágoras.

Esse resultado é o principal associado a esse tipo de triângulo. Se chamarmos os catetos de a e b, e a hipotenusa de c, podemos expressar a parte aritmética do resultado como a famosa fórmula do Teorema de Pitágoras: a²+b²=c².

Relação entre as medidas

Seja um triângulo retângulo como o que está desenhado a seguir.

Dessa forma os catetos são a e b e hipotenusa é c, a altura em relação a hipotenusa é h, e, ainda, dividimos a hipotenusa em duas partes, uma medindo m e outra medindo n.

O Teorema de Pitágoras visto anteriormente nos dá a primeira relação entre algumas dessa medidas:

a² + b² = c²

Outra relação fácil de ser inferida é a seguinte:

a·b = c·h

Isto se dá devido ao fato de olhando para um dos catetos como base a área do triângulo é (a·b)/2, e olhando a hipotenusa como base a área é (c·h)/2. A unicidade do valor da área nos dá a relação.

Outra relações que são úteis e derivam da manipulação dessas com a ideia de semelhança de triângulos também são:

h² = m·n

a² = c·m

b² = c·n

Ainda, podemos relacionar a altura relativa a hipotenusa com os catetos da seguinte forma:

1/a² + 1/b² = 1/h²

Trigonometria no triângulo retângulo.

Uma importante construção que também pode ser feita nesse tipo de triângulo é a definição de algumas funções chamadas de funções trigonométricas.

Confira outro texto no blog que trás essas definições com todos os detalhes: Trigonometria no triângulo retângulo: parte 1.

Ainda assim vamos definir rapidamente as principais funções.

Dado um ângulo diferente do reto no triângulo retângulo. O seno deste ângulo é igual ao cateto oposto a ele dividido pela hipotenusa, o cosseno é igual ao cateto adjacente a ele dividido pela hipotenusa e a tangente é igual ao seno dele dividido pelo cosseno dele.

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