Variação dos parâmetros para EDOs de 2º ordem

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Nesse artigo, vamos falar sobre o método da variação dos parâmetros aplicado em EDOs de segunda ordem. De fato, nós já falamos um pouco sobre EDOs não homogêneas, todavia, nos ativemos a falar apenas do método dos coeficientes a determinar. Agora, vamos explorar um método bem mais geral que permitirá a nós obtermos as soluções particulares para uma quantidade muito maior de EDOs de segunda ordem não homogêneas.

Além disso, é sempre bom lembrar que o método da variação é um assunto recorrente em provas de EDOs. Então gurunauta, cola comigo que hoje a MeuGuru preparou esse texto para que você saia daqui manjando muito bem esse assunto e arrasando nas suas provas.

O método da variação dos parâmetros

Em geral, o método da variação dos parâmetros consiste em buscar uma solução particular para uma EDO do tipo

Expressão geral de uma EDO para uso do método da variação dos parâmetros.

onde x, p, q e f são funções da variável independente t. Basicamente, a solução particular terá a seguinte forma

Solução particular do método da variação dos parâmetros.
Expressão 1. Forma da solução particular no método da variação dos parâmetros.

onde as funções psi são duas soluções Linearmente independentes da EDO homogênea associada. Com isso, nós podemos entender a origem do nome do método. De fato, quando incluímos as funções alfas na Expresão 1 estamos criando uma variação nas soluções da EDO homogênea, uma vez que, as funções alfas agem como parâmetros de variação na nova solução.

Então, o problema desse método consiste em

  • Conhecer duas soluções da EDO homogênea.
  • Determinar os parâmetros (funções) alfas.

Equações auxiliares para serem resolvidas

Tendo isso em vista, vamos agora obter as expressões gerais para os parâmetros alfas. Para tanto, vamos derivar a forma geral da solução, com efeito.

Derivada e condição da solução geral do método da variação dos parâmetros.
Expressão 2. Derivadas de primeira e segunda ordem no método da variação dos parâmetros.

Onde, a condição do meio na Expressão 2 é necessária, uma vez que, ela elimina os termos de alta ordem na segunda derivada. Ademais, levando essas derivadas na EDO geral teremos o seguinte

Ou seja,

Expressão 4. Segunda equação no método da variação dos parâmetros.

e, então, com isso podemos obter o seguinte sistema de equações

Expressão 5. Sistema linear.

Note que, a Expressão 5 é um sistema linear em termos de alfa1′ e alfa2′. Portanto, pode ser facilmente resolvido com os métodos usuais de sistemas lineares. De fato, sua solução são seguintes expressões

Expressões para os parâmetros alfas no método da variação dos parâmetros.
Expressão 6. Termos para a determinação dos alfas.

onde W é o wronskiano das soluções psi1 e psi2. Com isso, o problema agora se torna resolver duas equações diferenciais de primeira ordem separáveis.

É importante você ter em mente como prosseguir no método fazendo todo o passo a passo grunauta. De fato, muitos professores exigem isso em suas provas. Por outro lado, caso isso não seja exigido você pode se valer diretamente da expressão 6 e ser feliz com sua solução.

Um exemplo resolvido com variação dos parâmetros

Agora que já vimos o método da variação dos parâmetros, vamos ver um exemplo resolvido passo a passo. Com efeito, consideremos a seguinte EDO com suas duas soluções L.I

veja que essa EDO é não homogênea. Então, precisamos determinar uma solução particular para a parte não homogênea. Para tanto, vamos usar o método da variação dos parâmetros, com a Expressão 6 teremos o seguinte

Assim, a solução particular fica determinada da seguinte forma

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