Volumes de sólidos com integrais duplas: Um tutorial

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O cálculo de volumes com uso de integrais de duplas ou triplas é uma das mais notórias aplicações do cálculo integral. De fato, o arcabouço matemático fornecido pelo cálculo diferencial e integral é suficientemente robusto e permite a nós obtermos diversas aplicações importantes nas engenharias e ciências. Com efeito, uma dessas aplicações singulares é o cálculo de volumes arbitrários, o qual é extremamente útil na elaboração e engenharia.

Nesse sentido, nós dá MeuGuru elaboramos esse tutorial simples, prático e direto que visa te ensinar a como atacar o problema de determinar o volume de um determinado sólido. Entretanto, aqui vamos nos focar em como podemos atacar problemas com o uso das integrais duplas as quais são uma ferramenta poderosa e prática para esses problemas e que requer conhecimentos elementares de cursos iniciais de cálculo. Então, vem conosco Gurunauta que hoje vamos, através de um problema simples e motivador obter um tutorial de como resolver esses problemas que muitas vezes dão uma enorme dor de cabeça na hora de uma lista e/ou uma prova.

Um pouco da história do cálculo de volumes

Antes de tudo, com a finalidade de nos contextualizarmos, vamos perpassar sobre a história do cálculo de volumes. Com efeito, vemos ao longo da história que humanidade busca métodos e formas para computar essa quantidade de sólidos desde a antiguidade. De fato, já os antigos egípcios e mesopotâmios buscavam estabelecer relações entre dimensões lineares e volumes.

Avançando na história, vemos que os gregos estabeleceram contribuições significativas a essa área. Decerto, a obra de Euclides, “Os Elementos”, estabeleceu os princípios fundamentais da geometria e forneceu as bases para o cálculo de volumes de sólidos regulares. Além disso, há as contribuições de Arquimedes que associam o volume de um corpo a propriedades da hidrostática.

Entretanto, no período do Renascimento houve os fortes avanços advindos dos estudos de Cavalieri que logo mais tarde culminariam no despontar do cálculo de integrais. Decerto, os séculos XVII e XVIII marcaram um avanço significativo no cálculo de volumes, uma vez que Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, em seu desenvolvimento do cálculo infinitesimal, introduziram o conceito de integral como uma soma infinita de infinitésimos para calcular áreas e volumes. Essas contribuições teóricas fundamentaram o cálculo de volumes usando integrais definidas.

Figura 1. Issac Newton e Gottfried Leibniz desenvolvedores do cálculo integral.
Figura 1. Issac Newton e Gottfried Leibniz.

Um tutorial para o cálculo de volumes com integrais duplas

Decerto, atualmente além do cálculo integral há ainda outras ferramentas tão robustas quanto que permitem a nós a computação de volumes de sólidos arbitrários. Entretanto, os desenvolvimentos advindos do cálculo integral ainda são úteis e necessários para grande parte das situações atuais.

Todavia, quando falamos do uso de integrais para avaliarmos volumes de sólidos temos grandes questões a considerar. Com efeito, veja que a depender da quantidade de variáveis nosso problema de determinar o volume de um sólido pode ser elaborado por várias integrais. Nesse sentido, nesse artigo vamos nos limitar as integrais duplas.

Um pouco das integrais duplas

Assim, se faz necessário apresentarmos, mesmo que de forma rápida, um pouco do arcabouço teórico das integrais duplas. Então, consideremos uma função z = f(x,y) logo a integral dupla de z numa região R do plano euclidiano, isto é R= {(x,y) em R2 } é dada por

Equação 1. Expressão da integral dupla para cálculo de volumes de um sólido z = f(x,y).
Equação 1. Volume de um sólido z = f(x,y) numa região R do plano euclidiano.

De imediato, a interpretação geométrica de uma integral dupla é, em essência, o volume do sólido definido pela região abaixo da superfície z = f(x,y). Decerto, o termo dA = dxdy corresponde ao elemento de área infinitesimal no plano xy que é obtido conhecendo a região de integração R.

Consequentemente, segue que o problema desse cálculo não é apenas computar a integral V, mas também, obter e expressar corretamente a região de integração R. Decerto, a determinação dessa região de integração é um dos passos fundamentais que permite a você estudante de cálculo conseguir resolver problemas dessa área. Pois, essa região se corretamente especificada permitirá que você consiga descrever o sólido de interesse de forma precisa.

Ademais, a medida que conseguimos, por algum método, especificar a região R de integração torna-se suficientemente mais simples o processo de obtenção do volume desejado. Com efeito, de posse disso a nossa única tarefa é a realizar a avaliação da integral usando as técnicas de integração já conhecidas do cálculo diferencial e integral e prosseguindo de forma iterativa para cada integral.

Resolvendo um exemplo com cálculo de volumes

Agora, uma vez tendo em mãos as noções necessárias de como podemos computar o cálculo de volumes para sólidos vamos então realizar a avaliação de um exemplo simples e prático de como devemos computar o volume de um sólido.

Nesse sentido, consideremos o problema de computar o volume de um sólido abaixo da superfície z = f(x,y) = x+2xy+y2 na região retangular do plano euclidiano de lado 2 em x e lado 3 em y partindo da origem dos eixos coordenados. Com efeito, vamos agora entender como podemos e devemos prosseguir com a avaliação do volume nesse exemplo prático e simples.

Passo 1. Identificando a região de integração

Primeiro de tudo, é necessário conseguirmos entender o que é a região descrita pelo problema uma vez que essa região fornecerá a nós as contribuições de área para o volume pois a partir da expressão anterior é nítido que a função z = f(x,y) desempenha um papel análogo de uma altura. Então, veja que nos é dado uma região retangular que parte da origem dos eixos coordenados, com efeito essa primeira informação nos permite de imediato entender que estamos tratando de uma região que é dada por: x >0, y >0.

Ademais, nos é dito ainda que essa região é tal que o comprimento do eixo x vai até duas unidades e enquanto o lado y vai até três unidades. Portanto, temos que a região de integração deve ser tal que 0 < x< 2 e 0< y < 3, onde as desigualdades podem ou não ser estritas. Com efeito, isso nos leva a escrever, formalmente, a seguinte região: R= {(x,y) em R2 tal que 0 < x < 2 e 0 < y < 3}.

Passo 2. Montando a integral

Então, uma vez que temos em mãos a região de integração podemos simplesmente montar a integral que desejamos calcular com certa facilidade. Decerto, para essa região plana temos que dV = dxdy (elemento infinitesimal de área) e que os limites de integração serão tais que x varia de 0 até 2 enquanto que y varia de 0 até 3. Ademais, conhecendo a função z = f(x,y) da superfície temos que a integral do volume é dada por:

integral dupla para cálculo de volumes de um exemplo.
Expressão para o volume do sólido abaixo da superfície z = f(x,y) dada na região de integração R especificada pela questão.

Passo 3. Calculando o volume

Então, agora que temos em mãos a expressão para a integral associada ao volume que buscamos resta a nós prosseguirmos com as técnicas de integração já conhecidas e então obtermos o volume desejado. Com efeito, o cálculo do volume então pode ser obtido, passo a passo, integrando cada integral iterada da seguinte forma.

Referências

  1. STEWART, J. Cálculo – Volume 2. São Paulo: Cengage Learning, 2007.
  2. LARSON, R.; EDWARDS, B. Cálculo – Volume 2. São Paulo: McGraw-Hill, 2009.
  3. ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo – Volume 2. São Paulo: Bookman, 2012.
  4. LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica – Volume 2. São Paulo: Harbra, 1994.
  5. SWOKOWSKI, E. Cálculo com Geometria Analítica – Volume 2. São Paulo: Makron Books, 1994.

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