Considere as matrizes A= 3 2 -1 2 e B= 1 0 1 -2. Sabendo que AxB-1 = C, calcule A-B+C.

Para resolver essa questão, vamos seguir os passos:

1. Calcular $B^{-1}$ (a inversa de $B$).
2. Calcular $A \times B^{-1}$ para encontrar $C$.
3. Finalmente, calcular $A - B + C$.

Dadas as matrizes:

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$

Passo 1: Calcular $B^{-1}$

Para calcular a inversa de uma matriz $2 \times 2$, usamos a fórmula:

$$B^{-1} = \frac{1}{\text{det}(B)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

onde $\text{det}(B) = ad - bc$ e $B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.

Para $B$, temos:

$$a = 1, \quad b = 0, \quad c = 1, \quad d = -2$$

Portanto,

$$\text{det}(B) = (1)(-2) - (1)(0) = -2$$

E assim,

$$B^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0.5 & -0.5 \end{pmatrix}$$

Passo 2: Calcular $A \times B^{-1} = C$

$$A \times B^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0.5 & -0.5 \end{pmatrix}$$

Multiplicando as matrizes:

$$C = \begin{pmatrix} 3(1) + 2(0.5) & 3(0) + 2(-0.5) \\ -1(1) + 2(0.5) & -1(0) + 2(-0.5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Passo 3: Calcular $A - B + C$

$$A - B + C = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Somando as matrizes:

$$A - B + C = \begin{pmatrix} 3-1+4 & 2-0-1 \\ -1-1+0 & 2+2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$

Portanto, o resultado de $A - B + C$ é $\begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$.