A tabela fornece suas contagens diárias da população de protozoários.

t(dias) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
P(observados) 2 3 22 16 39 52 54 47 50 76 69 51 57 70 53 59 57
Ele estimou a taxa relativa de crescimento inicial como 0,7944 e a capacidade de suporte como 64. E chegou na seguinte equação logística P(t) = 64 / 1 + 31 e^-0,7944t

Use essa equação para estimar a taxa de variação dessa população quando t = 2,6.

Question

A tabela fornece suas contagens diárias da população de protozoários.

t(dias)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
P(observados)	2	3	22	16	39	52	54	47	50	76	69	51	57	70	53	59	57
Ele estimou a taxa relativa de crescimento inicial como 0,7944 e a capacidade de suporte como 64. E chegou na seguinte equação logística P(t) = 64 / 1 + 31 e^-0,7944t

Use essa equação para estimar a taxa de variação dessa população quando t = 2,6.

Accepted Answer

Para estimar a taxa de variação da população de protozoários no tempo $t = 2,6$, usaremos a equação logística dada:
$$P(t) = \frac{64}{1 + 31e^{-0,7944t}}$$

A taxa de variação de $P(t)$ em relação ao tempo $t$ pode ser encontrada derivando $P(t)$ em relação a $t$. A derivada de $P(t)$ nos dará a taxa de variação instantânea da população em qualquer ponto no tempo. Portanto, vamos calcular $\frac{dP}{dt}$.

Primeiro, reescrevemos a equação para facilitar a diferenciação:
$$P(t) = 64(1 + 31e^{-0,7944t})^{-1}$$

Agora, aplicamos a regra da cadeia para diferenciar:
$$\frac{dP}{dt} = 64 \cdot (-1)(1 + 31e^{-0,7944t})^{-2} \cdot (31)(-0,7944)e^{-0,7944t}$$

Simplificando, obtemos:
$$\frac{dP}{dt} = -64 \cdot 31 \cdot (-0,7944)(1 + 31e^{-0,7944t})^{-2}e^{-0,7944t}$$
$$\frac{dP}{dt} = 64 \cdot 31 \cdot 0,7944 \cdot e^{-0,7944t}(1 + 31e^{-0,7944t})^{-2}$$

Substituindo $t = 2,6$:
$$\frac{dP}{dt} = 64 \cdot 31 \cdot 0,7944 \cdot e^{-0,7944 \cdot 2,6}(1 + 31e^{-0,7944 \cdot 2,6})^{-2}$$

Calculamos o valor de $e^{-0,7944 \cdot 2,6}$:
$$e^{-0,7944 \cdot 2,6} \approx e^{-2,06544} \approx 0,1269$$

Substituímos este valor na equação:
$$\frac{dP}{dt} = 64 \cdot 31 \cdot 0,7944 \cdot 0,1269(1 + 31 \cdot 0,1269)^{-2}$$

Calculamos o denominador:
$$1 + 31 \cdot 0,1269 \approx 1 + 3,9339 \approx 4,9339$$

E então, calculamos a taxa de variação:
$$\frac{dP}{dt} = 64 \cdot 31 \cdot 0,7944 \cdot 0,1269(4,9339)^{-2}$$
$$= 64 \cdot 31 \cdot 0,7944 \cdot 0,1269 \cdot 0,0412$$
$$= 64 \cdot 31 \cdot 0,7944 \cdot 0,1269 \cdot 0,0412$$
$$= 64 \cdot 31 \cdot 0,7944 \cdot 0,1269 \cdot 0,0412$$
$$= 1585,8304 \cdot 0,1269 \cdot 0,0412$$
$$= 200,7467 \cdot 0,0412$$
$$= 8,2707$$

Portanto, a taxa de variação estimada da população de protozoários quando $t = 2,6$ é aproximadamente $8,27$ indivíduos por dia.

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