CE FRANCISCO DE ASSIS XIMENES ARAGÃO FILHO
DISCIPLINA: MATEMÁTICA TURMA: 24RMM-CHL-300 Data: $ 10 / 04 / 2024 $
ALUNO(a): Erlayne Rhiuly Siqueira crus
Atividades $ -1^{\circ} $ Período
1 Em cada caso abaixo, calcular a distância entre os pontos A e B:
a) $ A(+3,-4), B(+6,-8) $
b) $ A(-9,-10), B(+7,+2) $
2 Relacione as equações de retas abaixo com suas respectivas definições:
(1) $ \left\{\begin{array}{l}x=2-2 t \ y=t-10\end{array}\right. $
(2) $ -2 x+5 y-3=0 $
(3) $ y=5-2 x $
(4) $ \frac{x}{4}+\frac{y}{-7}=1 $
( ) Equação geral ( ) Equação segmentária ( ) Equações paramétricas ( ) Equação reduzida
3 Determinar a equação geral da reta determinada pelos pontos $ \mathrm{C}(-2,-1) $ e $ \mathrm{D}(+3,+2) $.
4 Verificar em cada caso abaixo se as retas $ r $ e $ s $ são paralelas ou perpendiculares:
a) (r) $ 3 x+2 y-1=0 $;
(s) $ 4 x-6 y+3=0 $
b) (r) $ 4 x+2 y-5=0 $;
$ (s)-6 x-3 y+4=0 $
5 Em cada caso abaixo, determinar a equação reduzida da reta a partir de sua equação geral:
c) $ -4 x+2 y-10=0 $
b) $ 6 x-3 y+12=0 $

Question

Accepted Answer

Vamos resolver cada questão passo a passo.

### 1. Calcular a distância entre os pontos A e B

#### a) $ A(+3,-4), B(+6,-8) $

A fórmula da distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dada por:

$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

Substituindo pelos valores de A e B, temos:

$$ d = \sqrt{(6 - 3)^2 + (-8 + 4)^2} $$
$$ d = \sqrt{3^2 + (-4)^2} $$
$$ d = \sqrt{9 + 16} $$
$$ d = \sqrt{25} $$
$$ d = 5 $$

#### b) $ A(-9,-10), B(+7,+2) $

$$ d = \sqrt{(7 + 9)^2 + (2 + 10)^2} $$
$$ d = \sqrt{16^2 + 12^2} $$
$$ d = \sqrt{256 + 144} $$
$$ d = \sqrt{400} $$
$$ d = 20 $$

### 2. Relacionar as equações de retas com suas definições

- Equação geral: $ Ax + By + C = 0 $
- Equação segmentária: $ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 $
- Equações paramétricas: $ \left\{\begin{array}{l}x=... \ y=...\end{array}\right. $
- Equação reduzida: $ y = mx + n $

Portanto, temos:

(1) Equações paramétricas
(2) Equação geral
(3) Equação reduzida
(4) Equação segmentária

### 3. Determinar a equação geral da reta determinada pelos pontos $ C(-2,-1) $ e $ D(+3,+2) $

A fórmula da equação da reta que passa por dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:

$$ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} $$

Substituindo $ C(-2,-1) $ e $ D(+3,+2) $:

$$ \frac{y + 1}{2 + 1} = \frac{x + 2}{3 + 2} $$
$$ \frac{y + 1}{3} = \frac{x + 2}{5} $$

Multiplicando cruzado para eliminar os denominadores:

$$ 5(y + 1) = 3(x + 2) $$
$$ 5y + 5 = 3x + 6 $$

Rearranjando para a forma geral $ Ax + By + C = 0 $:

$$ 3x - 5y - 1 = 0 $$

### 4. Verificar se as retas $ r $ e $ s $ são paralelas ou perpendiculares

#### a) $ r: 3x+2y-1=0 $; $ s: 4x-6y+3=0 $

Para retas serem perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares deve ser $-1$. Para serem paralelas, seus coeficientes angulares devem ser iguais.

Coeficiente angular de $ r $, $ m_r = -\frac{A_r}{B_r} = -\frac{3}{2} $.

Coeficiente angular de $ s $, $ m_s = -\frac{A_s}{B_s} = -\frac{4}{-6} = \frac{2}{3} $.

$ m_r \cdot m_s = -\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = -1 $

As retas $ r $ e $ s $ são perpendiculares.

#### b) $ r: 4x+2y-5=0 $; $ s: -6x-3y+4=0 $

$ m_r = -\frac{A_r}{B_r} = -\frac{4}{2} = -2 $.

$ m_s = -\frac{A_s}{B_s} = -\frac{-6}{-3} = 2 $.

Os coeficientes angulares não são iguais nem seus produtos igual a $-1$, então as retas não são nem paralelas nem perpendiculares.

### 5. Determinar a equação reduzida da reta a partir de sua equação geral

#### c) $ -4x+2y-10=0 $

$$ 2y = 4x + 10 $$
$$ y = 2x + 5 $$

#### b) $ 6x-3y+12=0 $

$$ -3y = -6x - 12 $$
$$ y = 2x + 4 $$

Portanto, as equações reduzidas das retas são:
- Para $ -4x+2y-10=0 $: $ y = 2x + 5 $
- Para $ 6x-3y+12=0 $: $ y = 2x + 4 $

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