Ex dado o vetor posição r(t)=cost i + sent j + 5cos2t k

Para analisar o vetor posição $\mathbf{r}(t) = \cos(t)\mathbf{i} + \sin(t)\mathbf{j} + 5\cos(2t)\mathbf{k}$, podemos começar encontrando a velocidade e a aceleração, derivando o vetor posição em relação ao tempo.

Velocidade

A velocidade é a primeira derivada do vetor posição em relação ao tempo $t$. Assim:

$$\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt}$$ $$\mathbf{v}(t) = -\sin(t)\mathbf{i} + \cos(t)\mathbf{j} + \frac{d}{dt}[5\cos(2t)]\mathbf{k}$$

Para a componente em $\mathbf{k}$, usamos a regra da cadeia na derivação de $5\cos(2t)$, lembrando que $\frac{d}{dt}\cos(2t) = -2\sin(2t)$:

$$\mathbf{v}(t) = -\sin(t)\mathbf{i} + \cos(t)\mathbf{j} - 10\sin(2t)\mathbf{k}$$

Aceleração

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada do vetor posição em relação ao tempo. Assim:

$$\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt}$$ $$\mathbf{a}(t) = -\cos(t)\mathbf{i} - \sin(t)\mathbf{j} + \frac{d}{dt}[-10\sin(2t)]\mathbf{k}$$

Derivando $-10\sin(2t)$ em relação a $t$, temos:

$$\frac{d}{dt}[-10\sin(2t)] = -20\cos(2t)$$

Portanto, a aceleração é:

$$\mathbf{a}(t) = -\cos(t)\mathbf{i} - \sin(t)\mathbf{j} - 20\cos(2t)\mathbf{k}$$

Assim, temos as expressões para a velocidade e a aceleração do objeto que se move de acordo com o vetor posição dado.