Numa progressão geométrica de quatro termos positivos, a soma dos dois primeiros é 1 e a soma dos dois últimos é 9. Calcule a razão dessa progressão. a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

Para resolver essa questão, vamos utilizar as propriedades de uma progressão geométrica (PG). Seja $r$ a razão da progressão geométrica. Se os quatro termos são positivos e formam uma PG, podemos representá-los da seguinte forma:

1. $a$, que é o primeiro termo.
2. $ar$, que é o segundo termo.
3. $ar^2$, que é o terceiro termo.
4. $ar^3$, que é o quarto termo.

De acordo com o enunciado, a soma dos dois primeiros termos é 1 e a soma dos dois últimos termos é 9. Logo, temos duas equações:

$$a + ar = 1$$ $$ar^2 + ar^3 = 9$$

Vamos simplificar essas equações:

1. Da primeira equação, podemos fatorar $a$ para obter:

$$a(1 + r) = 1$$ $$a = \frac{1}{1 + r}$$

1. Da segunda equação, podemos fatorar $ar^2$ para obter:

$$ar^2(1 + r) = 9$$

Substituindo $a$ da primeira equação simplificada na segunda, temos:

$$\frac{1}{1 + r} \cdot r^2(1 + r) = 9$$

Simplificando, temos:

$$r^2 = 9$$ $$r = \pm3$$

Como a progressão é composta por termos positivos, a razão $r$ não pode ser negativa. Portanto, a razão da progressão geométrica é $r = 3$.

A resposta correta é a opção $a) 3$.